高中数学第二章圆锥曲线与方程2_4_2抛物线的几何性质一课件苏教版选修1_1

2 4 2抛物线的几何性质 一 第2章 2 4抛物线 1 了解抛物线的范围 对称性 顶点 焦点 准线等几何性质 2 会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一抛物线的几何性质 思考1类比椭圆 双曲线的几何性质 结合图象 你能说出抛物线y2 2px p 0 的范围 对称性 顶点坐标吗 答案 范围x 0 关于x轴对称 顶点坐标 0 0 思考2参数p对抛物线开口大小有何影响 答案 参数p p 0 对抛物线开口大小的影响 因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p 所以p越大 开口越大 梳理 x 0 y R x 0 y R x R y 0 x R y 0 x轴 1 0 0 y轴 知识点二焦点弦 设过抛物线焦点的弦的端点为A x1 y1 B x2 y2 则 题型探究 例1已知抛物线的焦点F在x轴上 直线l过F且垂直于x轴 l与抛物线交于A B两点 O为坐标原点 若 OAB的面积等于4 求此抛物线的标准方程 类型一由抛物线的几何性质求标准方程 解答 由题意设抛物线方程为y2 2mx m 0 所以AB 2 m 因为 OAB的面积为4 引申探究等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2 2px p 0 O为抛物线的顶点 OA OB 则 AOB的面积是 答案 解析 4p2 因为抛物线的对称轴为x轴 内接 AOB为等腰直角三角形 所以由抛物线的对称性知 直线AB与抛物线的对称轴垂直 从而直线OA与x轴的夹角为45 所以易得A B两点的坐标分别为 2p 2p 和 2p 2p 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 1 定位置 根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向 2 设方程 根据焦点和开口方向设出标准方程 3 寻关系 根据条件列出关于p的方程 4 得方程 解方程 将p代入所设方程为所求 反思与感悟 跟踪训练1已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 其上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6 求抛物线的方程 解答 设抛物线的方程为y2 2ax a 0 点P x0 y0 因为点P到对称轴距离为6 所以y0 6 因为点P到准线距离为10 所以所求抛物线的方程为y2 4x或y2 36x 因为点P在抛物线上 所以36 2ax0 例2已知直线l经过抛物线y2 6x的焦点F 且与抛物线相交于A B两点 1 若直线l的倾斜角为60 求AB的值 类型二抛物线的焦点弦问题 解答 因为直线l的倾斜角为60 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 5 x1 x2 p 所以AB 5 3 8 2 若AB 9 求线段AB的中点M到准线的距离 解答 设A x1 y1 B x2 y2 由抛物线定义知 所以x1 x2 6 所以线段AB的中点M的横坐标是3 反思与感悟 1 抛物线的焦半径 P x0 y0 为抛物线上一点 F为焦点 2 过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y2 2px p 0 焦点的弦的端点为A x1 y1 B x2 y2 则AB x1 x2 p 然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立 消元 由根与系数的关系求出x1 x2即可 跟踪训练2已知抛物线方程为y2 2px p 0 过此抛物线焦点的直线与抛物线交于A B两点 且AB p 求AB所在直线的方程 解答 设A x1 y1 B x2 y2 A B到准线的距离分别为dA dB 由抛物线的定义知 所以直线AB与Ox不垂直 解得k 2 类型三抛物线在实际生活中的应用 例3河上有一抛物线形拱桥 当水面距拱桥顶5m时 水面宽为8m 一小船宽4m 高2m 载货后船露出水面的部分为0 75m 问 水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时 小船开始不能通航 解答 如图 以拱桥的拱顶为原点 以过拱顶且平行于水面的直线为x轴 建立平面直角坐标系 当船面两侧和抛物线接触时 船不能通航 设此时船面宽为AA 则A 2 yA 又知船面露出水面的部分为0 75m 所以h yA 0 75 2 m 所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时 小船开始不能通航 反思与感悟 涉及拱桥 隧道的问题 通常需建立适当的平面直角坐标系 利用抛物线的标准方程进行求解 跟踪训练3如图 有一座抛物线型拱桥 桥下面在正常水位AB时宽20米 水位上升3米就达到警戒线CD 这时水面宽度为10米 若洪水到来时 水位从警戒线开始以每小时0 2米的速度上升 再持续多少小时才能到拱桥顶 平面直角坐标系是以桥顶点为原点O 解答 设所求抛物线的方程为y ax2 设D 5 b 则B 10 b 3 把D B的坐标分别代入y ax2 b 1 拱桥顶O到CD的距离为1 即再持续5小时到达拱桥顶 当堂训练 1 2 3 4 5 1 抛物线的顶点在原点 对称轴是x轴 抛物线上的点 5 2 到焦点的距离是6 则抛物线方程为 答案 解析 y2 4x 又抛物线开口方向为x轴负方向 抛物线方程为y2 4x 1 2 3 4 5 顶点在坐标原点 对称轴为y轴的抛物线的标准方程有两个 x2 2py x2 2py p 0 由顶点到准线的距离为4 得p 8 故所求抛物线的标准方程为x2 16y或x2 16y 2 顶点在坐标原点 对称轴为y轴 顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是 x2 16y 答案 解析 1 2 3 4 5 3 抛物线y2 x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 答案 解析 1 2 3 4 5 4 过抛物线y2 4x的焦点作直线l交抛物线于A B两点 若线段AB的中点的横坐标为3 则AB 答案 解析 8 易知抛物线的准线方程为x 1 则线段AB的中点到准线的距离为3 1 4 由抛物线的定义易得AB 8 1 2 3 4 5 5 对于顶点在原点的抛物线 给出下列条件 焦点在y轴上 焦点在x轴上 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 抛物线的通径的长为5 由原点向过焦点的某条直线作垂线 垂足坐标为 2 1 符合抛物线方程为y2 10 x的条件是 要求填写合适条件的序号 答案 解析 1 2 3 4 5 设点P 2 1 可得kPO kPF 1 符合 而 显然不符合 通过计算可知 不符合 应填 由抛物线方