高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_1 圆锥曲线课件 苏教版选修1-1

第2章圆锥曲线与方程 2 1圆锥曲线 1 掌握圆锥曲线的类型及其定义 几何图形和标准方程 会求简单圆锥曲线的方程 2 通过对圆锥曲线性质的研究 感受数形结合的基本思想和理解代数方法研究几何性质的优越性 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考命题甲 动点P到两定点A B的距离之和为PA PB 2a a 0且a为常数 命题乙 点P的轨迹是椭圆 且A B是椭圆的焦点 则命题甲是命题乙的什么条件 知识点一椭圆的定义 必要不充分条件 仅当2a AB时 P点的轨迹是椭圆 而当2a AB时 P点的轨迹是线段AB 当2a AB时 P点无轨迹 答案 梳理平面内与两个定点F1 F2的距离的和等于常数 的点的轨迹叫做椭圆 两个定点F1 F2称为椭圆的 两焦点之间的距离称为椭圆的 大于F1F2 焦点 焦距 知识点二双曲线的定义 如图 曲线上的点满足条件 MF1 MF2 常数 如果改变一下位置 使MF2 MF1 常数 可得到另一条曲线 思考1 取一条拉链 拉开它的一部分 在拉开的两边上各选择一点 分别固定在点F1 F2上 把笔尖放在点M处 拉开闭拢拉链 笔尖经过的点可画出一条曲线 思考曲线满足什么条件 答案 若没有绝对值 动点的轨迹就成了双曲线的一支 只有当2aF1F2时 满足条件的点不存在 思考2 在双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数 若没有绝对值 则动点的轨迹是什么 为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a 2a F1F2 答案 梳理平面内与两个定点F1 F2距离的差的绝对值等于常数 的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点F1 F2叫做双曲线的 两焦点间的距离叫做双曲线的 焦点 小于F1F2 的正数 焦距 如图 我们在黑板上画一条直线EF 然后取一个三角板 将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上 并将拉链下边一半的一端固定在C点 将三角板的另一条直角边贴在直线EF上 在拉锁D处放置一支粉笔 上下拖动三角板 粉笔会画出一条曲线 知识点三抛物线的定义 抛物线 思考1 画出的曲线是什么形状 答案 是 AB是直角三角形的一条直角边 思考2 DA是点D到直线EF的距离吗 为什么 答案 DA DC 思考3 点D在移动过程中 满足什么条件 答案 梳理平面内到一个定点F和一条定直线l F不在l上 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的 定直线l叫做抛物线的 焦点 准线 题型探究 例1在 ABC中 B 6 0 C 0 8 且sinB sinA sinC成等差数列 1 顶点A的轨迹是什么 类型一椭圆定义的应用 解答 由sinB sinA sinC成等差数列 得sinB sinC 2sinA 由正弦定理 可得AC AB 2BC 又BC 10 所以AB AC 20 且20 BC 所以点A的轨迹是椭圆 除去直线BC与椭圆的交点 2 指出轨迹的焦点和焦距 解答 椭圆的焦点为B C 焦距为10 本题求解的关键是把已知条件转化为三角形边的关系 找到点A满足的条件 注意A B C三点要构成三角形 轨迹要除去两点 反思与感悟 跟踪训练1在 ABC中 BC 24 AC AB边上的中线长之和等于39 求 ABC的重心的轨迹方程 解答 有一定长线段BC 两边上的中线长均与定点B C和 ABC的重心有关系 因此考虑以BC的中点为原点建立坐标系 如图所示 以线段BC所在的直线为x轴 线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系 设M是 ABC的重心 BD是AC边上的中线 CE是AB边上的中线 根据椭圆的定义知 点M的轨迹是以B C为焦点的椭圆 除去直线BC与椭圆的交点 例2如图 已知动圆C与圆F1 F2均外切 圆F1与圆F2相离 试问 动点C的轨迹是什么曲线 设动圆C的半径为R 圆F1 F2的半径分别为r1 r2 易知CF1 R r1 CF2 R r2 所以CF1 CF2 r1 r2 又CF1 CF2 r1 r2 F1F2 故动圆圆心C的轨迹是以F1 F2为焦点的双曲线靠近F2的一支 解答 类型二双曲线定义的应用 引申探究若把本例中 外切 换成 内切 再求解 结论如何 设动圆C的半径为R 圆F1 F2的半径分别为r1 r2 易知CF1 R r1 CF2 R r2 CF2 CF1 r1 r2 F1F2 故动圆圆心C的轨迹是以F1 F2为焦点的双曲线靠近F1的一支 解答 判断动点轨迹是双曲线应满足三个条件 1 动点P到两定点的距离之差是否为常数 2 该常数是否小于两定点之间的距离 3 其差是否加上绝对值 反思与感悟 跟踪训练2在 ABC中 BC固定 顶点A移动 设BC m 且 sinC sinB sinA 则顶点A的轨迹是什么 解答 所以点A的轨迹是双曲线 除去双曲线与BC的两个交点 例3若动圆与定圆 x 2 2 y2 1外切 又与直线x 1 0相切 求动圆圆心的轨迹 解答 如图所示 设动圆O 的半径为r 则动圆的圆心O 到点 2 0 的距离为r 1 点O 到直线x 1的距离为r 从而可知点O 到点 2 0 的距离与到直线x 2的距离相等 由抛物线定义可知 动圆圆心O 的轨迹是抛物线 类型三抛物线定义的应用 引申探究点P到点F 2 0 的距离比它到直线l x 3的距离小1 则点P的轨迹是 抛物线 将直线l x 3向右平移1个单位 得直线l x 2 依题意知 点P到F 2 0 的距离等于点P到l x 2的距离 可见点P的轨迹是抛物线 答案 解析 判断点的轨迹是抛物线注意应满足两点 1 判断动点到定点与到定直线的距离相等 2 要特别注意定点不在定直线上 反思与感悟 跟踪训练3若动点P x y 满足 则动点P x y 的轨迹是 过点 0 2 且与直线x y 2 0垂直的一条直线 表示点P x y 到点 0 2 的距离 表示点P x y 到直线x y 2 0的距离 虽然满足第一个条件 但 0 2 在直线x y 2 0上 故不表示抛物线 点P的轨迹是过点 0 2 且与直线x y 2 0垂直的一条直线 答案 解析 当堂训练 1 动点M到定点A 0 B 0 的距离之和是2 则动点M的轨迹是 1 2 3 4 5 椭圆 MA MB 2 1 AB 点M的轨迹是椭圆 答案 解析 2 已知两点F1 5 0 F2 5 0 到它们的距离的差的绝对值是6的点M的轨迹是 双曲线 答案 解析 6 F1F2 10 点M的轨迹是双曲线 1 2 3 4 5 3 到定点A 4 0 和到定直线l x 4的距离相等的点的轨迹是 抛物线 1 2 3 4 5 答案 4 动圆过点 1 0 且与直线x 1相切 则动圆圆心的轨迹为 从圆 椭圆 双曲线或抛物线中选一个 抛物线 由题意知 动圆圆心到直线x 1的距离与到定点 1 0 的距离相等 由抛物线定义 可得圆心的轨迹为抛物线 答案 解析 1 2 3 4 5 5 如图 已知圆A x 3 2 y2 100 圆A内有一定点B 3 0 动圆P过B点且与圆A内切 设动圆P的半径为r 试判断圆心P的轨迹 由题意知A 3 0 PA 10 r PB r 则PA PB 10 AB 6 满足椭圆