高中数学 第二章 随机变量及其分布 2_4 正态分布课件 新人教a版选修2-3

2 4正态分布 主题正态分布1 由函数 x x 的解析式 观测其图象 x 的值 你能说出该函数曲线在平面直角坐标系中的大体位置吗 提示 因为 0 0 所以 x 0 即该函数曲线位于x轴上方 与x轴不相交 2 由函数 x x 的解析式 观测其幂指数解析式 你能说出该函数曲线的对称性以及最大值吗 提示 由于e的幂指数t 可看作一个关于x的二次函数 显然其开口向下 对称轴方程为x 因此该函数曲线关于直线x 对称 在x 时达到最大值 3 结合频率分布直方图以及正态曲线的定义 试说明曲线与x轴之间的面积是多少 提示 因为频率分布直方图中 各个小矩形的面积之和为1 再结合正态曲线的定义可知 正态曲线与x轴之间的面积为1 结论 正态分布的相关概念1 正态曲线 函数 x x 其中实数 0 为参数 我们称 x 的图象为正态分布密度曲线 简称正态曲线 2 正态曲线性质 1 曲线位于x轴 与x轴不相交 2 曲线是单峰的 它关于直线 对称 3 曲线在x 处达到峰值 4 曲线与x轴之间的面积为 上方 x 1 5 当 一定时 曲线的位置由 确定 曲线随着 的变化而沿x轴平移 6 当 一定时 曲线的形状由 确定 越小 曲线越 表示总体的分布越 越大 曲线越 表示总体的分布越 如图所示 瘦高 集中 矮胖 分散 3 正态分布及正态变量在三个特殊区间内取值的概率 1 正态分布 如果对于任何实数a b a b 随机变量X满足P a X b 则称随机变量X服从正态分布 记为 X N 2 2 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 P X P 2 X 2 P 3 X 3 0 6827 0 9545 0 9973 微思考 1 正态分布是离散型随机变量的分布吗 提示 不是 它是一种连续型随机变量分布 2 由正态曲线 过点 a 0 和 b 0 与x轴垂直的两条直线及x轴所围成的平面图形的面积表示什么 提示 表示随机变量落在区间 a b 的概率的近似值 3 在正态分布 x x 中 参数 和 0 分别表示随机变量的哪一个数字特征 提示 表示正态分布的均值 表示正态分布的标准差 4 在正态分布曲线中 曲线的 胖瘦 是由哪个量决定的 曲线的左右位置是由哪个量决定的 提示 曲线的 胖瘦 是由参数 决定的 曲线的左右位置是由参数 决定的 预习自测 1 正态分布N 0 1 在区间 2 1 和 1 2 上取值的概率为P1 P2 则二者大小关系为 A P1 P2B P1P2D 不确定 解析 选A 根据正态分布曲线的特点 图象关于x 0对称 可得在区间 2 1 和 1 2 上取值的概率P1 P2相等 2 设随机变量X N 2 则随着 的增大 概率P X 3 将会 A 单调增加B 单调减少C 保持不变D 增减不定 解析 选C 服从正态分布的随机变量X 不论 怎么变化 P X 3 总等于0 9973 3 若f x x R 则下列判断正确的是 A 有最大值 也有最小值B 有最大值 无最小值C 无最大值 有最小值D 无最大值 也无最小值 解析 选B f x 是 1 1的正态分布密度函数 所以在x 1时取得最大值 无最小值 4 设随机变量X N 2 且P X c P X c 则c等于 解析 由正态曲线性质可知图象关于x 对称 而本题关于x c对称 答案 5 设有一正态总体 它的概率密度曲线是函数f x 的图象 且f x 则这个正态总体的均值与标准差分别是 解析 由正态曲线知 即 10 2 答案 10 2 6 已知某工厂生产的某种型号的卡车轮胎的使用寿命 单位 km 服从正态分布N 36203 48272 一汽车公司一次性从该厂买了500个轮胎 利用正态分布估计使用寿命在36203 2 4827 36203 2 4827范围内的轮胎个数是多少 解析 因为卡车轮胎的使用寿命服从正态分布N 36203 48272 所以P 36203 2 4827 36203 2 4827 0 9545 因为汽车公司一次性从该厂买了500个轮胎 所以使用寿命在36203 2 4827 36203 2 4827范围内的轮胎个数约是500 0 9545 477 个 类型一正态分布的概念与性质 典例1 1 把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位 得到一条新的曲线C2 下列说法中不正确的是 A 曲线C2仍然是正态曲线B 曲线C1和曲线C2的最高点的纵坐标相等 C 以曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2D 以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2 2 如图所示是一个正态曲线 其解析式为f x 试根据该图象写出其正态分布参数 2的值 解题指南 1 正态曲线沿着横轴方向水平移动只改变对称轴位置 曲线的形状没有改变 所得的曲线依然是正态曲线 2 给出了一个正态曲线 就给出了该曲线的对称轴和最大值 从而就能求出总体随机变量的均值 方差 解析 1 选D 在正态曲线沿着横轴方向水平移动的过程中 始终保持不变 所以曲线的最高点的纵坐标即正态分布曲线的最大值不变 方差 2也没有变化 设曲线C1的对称轴为x 那么曲线C2的对称轴则为x 2 说明均值从 变到了 2 增大了2 2 从给出的正态曲线可知 该正态曲线关于直线x 20对称 最大值是 所以 20 由得 所以 2 2 故 20 2 2 方法总结 利用正态曲线的性质求参数 的方法 1 正态曲线是单峰的 它关于直线x 对称 由此性质结合图象求 2 正态曲线在x 处达到峰值由此性质结合图象可求 拓展 1 若随机变量X N 2 则Y aX b N a b a2 2 其理由如下 因为E aX b aE X b a b D aX b a2D X a2 2 因此 Y aX b N a b a2 2 2 正态分布的性质表示的含义性质1说明函数的值域为正实数的子集 且以x轴为渐近线 性质2是曲线的对称性 关于直线x 对称 性质3说明函数在x 时取得最大值 性质4说明随机变量在 内的概率等于1 性质5说明当标准差一定时 变化时曲线的位置变化情况 性质6说明当均值一定时 变化时总体分布的集中 离散程度 巩固训练 设两个正态分布N 1 1 0 和N 2 2 0 的密度函数图象如图所示 则有 A 1 2C 1 2 1 2 1 2 解析 选A 正态分布N 1 1 0 的对称轴x 1 且在x 1处取得峰值由密度函数图象可知 1 2 峰值故 1 2 补偿训练 正态分布密度函数f x 下列结论错误的是 A P 1 B P 1 1 P 1 1 C f x 的渐近线是x 0D 1 N 0 1 解析 选C 由正态分布密度函数f x 可知 其对称轴为x 1 标准差 1 所以P 1 正确 由正态曲线的性质可知 P 1 1 P 1 1 所以选项B正确 由正态曲线的性质可知 f x 的渐近线是y 0 所以选项C错误 又由正态分布密度函数f x 可知 N 1 1 所以 1 N 0 1 正确 类型二正态分布下的概率问题 典例2 1 设随机变量X N 3 1 若P X 4 p 则P 2 X 4 A pB 1 pC 1 2pD p 2 设X N 5 1 求P 6 X 7 解题指南 1 利用正态分布的图象特点计算 注意应用对称性 2 由X N 5 1 知 5 1 故P 4 X 6 0 6827 P 3 X 7 0 9545 由对称性知P 3 X 4 P 6 X 7 由此可求P 6 X 7 解析 1 选C 由X N 3 1 得 3 所以P 3 X 4 p 故P 2 X 4 2P 3 X 4 1 2p 2 由已知得P 4 X 6 0 6827 P 3 X 7 0 9545 所以P 3 X 4 P 6 X 7 0 9545 0 6827 0 2718 由对称性得P 3 X 4 P 6 X 7 所以P 6 X 7 0 1359 延伸探究 1 若题 1 中的条件 P X 4 p 改为 P X 4 p 则结果如何 解析 由X N 3 1 得 3 所以P 3 X 4 p 所以P 2 X 4 2P 3 X 4 2p 1 2 若题 1 的条件不变 求P X4 p 方法总结 正态分布概率求解的注意事项 1 注意对称 解答此类问题的关键在于充分利用正态曲线的对称性 把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化 在此过程中注意数形结合思想的运用 2 注意面积 正态曲线与x轴所围成的面积值为1 X落在区间 a b 的概率与由正态曲线 过点 a 0 和 b 0 的两条x轴的垂线及x轴所围成的图形的面积相等 类型三正态分布的实际应用 典例3 设在一次数学考试中 某班学生的分数X N 110 202 且知试卷满分150分 这个班的学生共54人 求这个班在这次数学考试中及格 即90分及以上 的人数和130分及以上的人数 解题指南 由题意将所求的问题向 2 2 3 3 这三个区间进行转化 然后利用上述区间的概率求出相应概率 解析 因为X N 110 202 所以 110 20 P 110 20 X 110 20 0 6827 所以X 130的概率为 1 0 6827 0 15865 所以X 90的概率为0 6827 0 15865 0 84135 所以及格的人数为54 0 84135 45 人 130分及以上的人数为54 0 15865 9 人 方法总结 1 生活中常见的正态分布 1 在生产中 各种产品的质量指标一般都服从正态分布 2 在测量中 测量结果 测量的随机误差都服从正态分布 3 在生物学中 同一群体的某种特征都服从正态分布 4 在气象中 某地每年某月份的平均气温 平均湿度 降雨量等都服从正态分布 2 利用3 原则求某区间内取值概率的基本方法 1 根据题目给出的条件确定 与 的值 2 将待求问题向 2 2 3 3 这三个区间转化 3 利用上述区间求出相应的概率 巩固训练 已知某批零件的长度误差 单位 毫米 服从正态分布N 0 32 从中随机取一件 其长度误差落在区间 3 6 内的概率为 附 若随机变量 服从正态分布N 2 则P 68 27 P 2 2 95 45 A 4 56 B 13 59 C 27 18 D 31 74 解析 选B 已知误差服从正态分布N 0 32 P 0 3 0 3 68 27 P 0 6 0 6 95 45 P 3 6 95 45 68 27 13 59 补偿训练 在某次大型考试中 某班同学的成绩服从正态分布N 80 52 现在已知该班同学中成绩在80 85分的有17人 该班成绩在90分以上的同学有多少人 解析 因为成绩服从正态分布N 80 52 所以 80 5 则 75 85 所以成绩在 75 85 内的同学占全班同学的68 27 成绩在 80 85 内的同学占全班同学的34 14 设该班有x名同学 则x 34 14 17 解得x