山东省聊城市中考数学专题复习讲义 三角形.doc

复习精品讲义第七章三角形 本章小结小结1 本章概述三角形是几何知识中的重要内容，也是几何学的基础本章从三角形出发，先学习与三角形有关的线段和角再到多边形，其中包括三角形的内角和、外角和及多边形的内角和等知识，最后到多边形的实际应用 小结2 本章学习重难点【本章重点】了解三角形的有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线)；会画出任意三角形的角平分线、中线和高 【本章难点】通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计 【学习本章应注意的问题】 正确理解三角形的有关概念，掌握有关性质在学习中，要注意观察，搜集资料，多交流，注重新旧知识的联系，学会将新知识转化到已学的知识上去，再进行归纳、整理、分析，要深刻理解并掌握归纳、类比的方法学习中，还要多注意结合图形，理解用多边形镶嵌图案的道理，欣赏丰富多彩的图案，体验数学美，提高审美情趣小结3 中考透视本章知识在中考中所占比重较大，一方面以填空题、选择题形式出现，以考查对基本概念、基本定理的理解为主；另一方面以综合题形式出现，主要考查对知识的灵活运用及综合运用的能力，利用本章知识解决实际问题的题目也越来越多地出现在中考试题中，还有平面图形的镶嵌内容也是近年来的热点考题，备受关注由于镶嵌问题具有较强的实用性，对知识的运用要求灵活性较高，所以要得到这类问题的分数也不是太容易的，分值占34分知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 三角形的三条重要线段【专题解读】三角形的中线、角平分线和高是三角形的三条重要线段，它们具有十分重要的性质，三角形的高构造了垂直的条件，三角形的中线隐含线段相等，通过三角形的中线可以把三角形的面积分成相等的两部分，三角形的角平分线提供了角相等的条件.掌握这些概念,对解与三角形有关的问题十分重要.例1 如图7-64所示,d为abc中ac边上一点,ad=1,dc=2,ab=4,e是ab上一点,且dec的面积等于abc的面积的一半,求eb.分析 已知dec的面积等于abc的面积的一半,在图形中, dec与abc既不同底也不等高,因此需寻找桥梁aec来建立二者之间的关系,因为aec既与dec等高也与abc等高.解:作efac于f,则,作cgab于点g,则,即.又,ae=3,be=ab-ae=1,即be的长为1.【解题策略】等高的两个三角形的面积比等于底边长的比,它是面积问题中常用的解题策略.专题2 多边形的内角和及外角和【专题解读】用三角形的内角和定理可以推出多边形的内角和定理及外角和定理,在推导的过程中体现了转化思想,在解有关多边形的问题时,如求多边形的内角、外角、边数及对角线等问题，这两个定理都很重要.例2 已知一个多边形的内角和与某个外角的度数的总和为1350,求这个多边形的边数.分析 应充分利用多边形每个外角在0180间和等式的性质巧解此题.解:设这个多边形的这个外角为x,它的边数为n,则(n-2)180+x=1350, (n-2) 180=8180-(90+x),由此可得90+x是180的倍数. 0x180,x=180-90=90,(n-2) 180=7180,n=9.【解题策略】灵活运用多边形的内角和定理及外角和定理是解决此类问题的关键.二、规律方法专题专题3 用公式法解有关对角线的条数问题【专题解读】用n边形的对角线有条来解决相关问题.例3 若一个多边形有77条对角线,求它的内角和.分析 由=77,求n.解:设这个多边形的边数为n,由题意,得=77.解得n=14,即这个多边形是十四边形,十四边形的内角和为(14-2) 180=2160,即内角和为2160.【解题策略】根据对角线条数的公式,即已知边数可求对角线的条数,反之已知对角线的条数,可求出边数.三、思想方法专题专题4 转化思想【专题解读】转化思想在本章中有很多的应用,主要体现在探索有关多边形的问题时经常转化为三角形的问题进行解决.例4 填表.多边形的边数3456n内角和外角和分析 先由三角形的内角和为180及外角和为360逐一推广,将4,5,n边形分割成若干个三角形,易得答案.解:填表如下.多边形的边数3456n内角和180360540720(n-2) 180外角和360360360360360【解题策略】解决有关多边形问题时,经常转化为三角形问题来解决.2011中考真题精选 （2011陕西，12，3分）如图，acbd，ae平分bac交bd于点e ，若， 则 考点：平行线的性质。分析：由acbd，根据两直线平行，同位角相等，即可求得b的度数；由邻补角的定义，求得bac的度数；又由ae平分bac交bd于点e，即可求得bae的度数，根据三角形外角的性质即可求得2的度数解答：解：acbd，b=1=64，bac=1801=18064=116，ae平分bac交bd于点e，bae=bac=58，2=bae+b=64+58=122故答案为：122点评：此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义以及三角形外角的性质题目难度不大，注意数形结合思想的应用如图，abc的外角acd的平分线cp与内角abc平分线bp交于点p，若bpc=40，则cap= 50考点：角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质分析：根据外角与内角性质得出bac的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出cap=fap，即可得出答案解答：解：延长ba，做pnbd，pfba，pmac，设pcd=x，cp平分acd，acp=pcd=x，pm=pn，bp平分abc，abp=pbc，pf=pn，pf=pm，bpc=40，abp=pbc=（x-40），bac=acd-abc=2x-（x-40）-（x-40）=80，caf=100，在rtpfa和rtpma中，pa=pa，pm=pf，rtpfartpma，fap=pac=50故答案为：50点评：此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出pm=pn=pf是解决问题的关键（2011贵港）在abc中，a=30，b=55，延长ac到d，则bcd=85度考点：三角形的外角性质。分析：根据三角形外角的性质，即可推出bcd=a+b，即可推出结论解答：解：abc中，a=30，b=55，bcd=a+b=85故答案为85点评：本题主要考查三角形外角的性质，关键在于推出bcd=a+b，认真的计算（2011西宁）如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，1=30，3=20，则2=50考点：平行线的性质；三角形的外角性质。专题：综合题。分析：先根据三角形的外角性质求得4的度数，再根据平行线的性质即可求解解答：解：由三角形的外角性质可得4=1+3=50，2和4是两平行线间的内错角，2=4=50故答案为：50点评：本题综合考查了三角形的外角性质和平行线的性质，得到4的度数是解题的关键（2011湖州，12，4分）如图：cd平分acb，deac且1=30，则2=60度考点：平行线的性质；角平分线的定义.专题：计算题.分析：已知cd平分acb，deac，可推出acb=2，易求解解答：解：cd平分acb，acb=21；deac，acb=2；又1=30，2=60点评：本题应用的知识点为两直线平行，同位角相等；角平分线的定义（2011湖北随州，8，3）如图，abc的外角acd的平分线cp与内角abc平分线bp交于点p，若bpc40，则cap50考点：角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质。分析：根据外角与内角性质得出bac的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出capfap，即可得出答案解答：解：延长ba，做pnbd，pfba，pmac，设pcdx，cp平分acd，acppcdx，pmpn，bp平分abc，abppbc，pfpn，pfpm，bpc40，abppbc（x40），bacacdabc2x（x40）（x40）80，caf100，在rtpfa和rtpma中，papa，pmpf，rtpfartpma，fappac50故答案为：50点评：此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出pmpnpf是解决问题的关键如图，adbc，abc的角平分线bp与bad的角平分线ap相交于点p，作peab于点e若pe=2，则两平行线ad与bc间的距离为 4【考点】角平分线的性质；平行线的性质【专题】几何计算题【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出pm=pe=2，pe=pn=2，即可得出答案【解答】解：过点p作mnad，adbc，abc的角平分线bp与bad的角平分线ap相交于点p，peab于点e，apbp，pnbc，pm=pe=2，pe=pn=2，mn=2+2=4故答案为：4【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质，根据题意作出辅助线是解决问题的关键（2011湖南长沙，13，3分）如图，cd是abc的外角ace的平分线，abcd，ace100，则a_考点：角平分线 平行线专题：相交线与平行线分析：因为cd是ace的平分线，ace100，所以acdace50；因为abcd，所以aacd50解答：50点评：本题解法不唯一，如可以先由平角定义求得acb的度数，再由平角分线定义与平行线性质求得b的度数，最后由三角形的内角和定理，求得a的度数（2011青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题探究1：如图1，在abc中，o是abc与acb的平分线bo和co的交点，通过分析发现boc=90+，理由如下：bo和co分别是abc和acb的角平分线又abc+acb=180aboc=180（1+2）=180（90a）=探究2：如图2中，o是abc与外角acd的平分线bo和co的交点，试分析boc与a有怎样的关系？请说明理由探究3：如图3中，o是外角dbc与外角ecb的平分线bo和co的交点，则boc与a有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：boc=90a考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理。专题：常规题型。分析：（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用a与1表示出2，再利用o与1表示出2，然后整理即可得到boc与o的关系；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出obc与ocb，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解解答：解：（1）探究2结论：boc=a，理由如下：bo和co分别是abc和acd的角平分线，1=abc，2=acd，又acd是abc的一外角，acd=a+abc，2=（a+abc）=a+1，2是boc的一外角，boc=21=a+11=a；（2）探究3：obc=（a+acb），ocb=（a+abc），boc=1800bcocb，=180（a+acb）（a+abc），=180a（a+abc+acb），结论boc=90a点评：本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要综合验收评估测试题 (时间：120分钟 满分：120分)一、选择题1.若一个正多边形的一个外角是40，则这个正多边形的边数是 （ ）a10 b9 c8 d62如图7-65所示的是“北大西洋公约组织”标志的主体部分（平面图），它是由四个完全相同的四边形oabc拼成的.测得ab=bc,oa=oc,oaoc, abc=36,则oab的度数是 ( )a.116 b.117 c.118 d.1193.如图7-66所示,在abc中,ab=ac,点d在ac上,且bd=bc=ad,则a等于 ( )a.30 b.40 c.45 d.364.一个等腰三角形(有两条边相等的三角形)的两边长分别为4.6和9.2,则此三角形的周长为 ( )a.23 b.18.4 c.23或18.4 d.13.85.把14 cm长的细铁丝截成三段,围成不等边三角形,并且使三边长均为整数,那么 ( )a.只有一种截法 b.有两种截法c.有三种截法 d.有四种截不动 6.一个多边形的每一个内角都是120,这个多边形是 ( )a.正四边形 b.正五边形 c.正六边形 d.正七边形7.一个凸n边形的n个内角的和与某一外角的总和为1500,则n的值为 ( )a.7 b.8 c.9 d.108.一个多边形木板截去一个三角形后(截线不经过顶点),得到新多边形的内角和为2340,则原多边形的边数为 ( )a.13 b.14 c.15 d.169.若n边形的内角和是1260,则边数n为 ( )a.8 b.9 c.10 d.1110.若一个多边形的每一个外角都等于72,则这个多边形是 ( )a.正三角形 b.正方形 c.正五边形 d.正六边形二、填空题11.若一个三角形的三边长都是整数,周长为5,则最小边为_.12.木工师傅做完门框后,为防止变形,通常在角上钉一斜条,根据是_.13.小明绕着五边形各边走一圈,他共转了_度.14.如果一个多边形各边相等,周长为70,且内角和为1440,那么它的边长为_.15.若多边形的边数由5条增加了n条,则内角和增加了_.16.平面内,当绕一点拼在一起的几个多边形的内角恰好围成一个_时,就能拼成一个平面图形.17.如果只用圆、正五边形、矩形中的一种图形镶嵌整个平面，那么这个图形只能是_.18.如图7-67所示,有一底角为35的等腰三角形纸片,现过底边上一点,沿与底边垂直的方向将其剪开,分成三角形和四边形两部分,则四边形中的最大角的度数是_.三、解答题19.如图7-68所示,d是abc中bc边上一点.求证2adab+bc+ac.20.如图7-69所示, 1+2+3+4为多少度?21.如图7-70所示,求的度数.22.一个多边形切去一个角后是十边形,求原多边形的内角和.23.一个凸多边形,除了一个内角外,其余各角的和为2750,求这个多边形的边数.参考答案1.b2.b3.d4.a提示:根据两边之和大于第三边,两边之差小于第三边判断,等腰三角形的腰长只能为9.2.5.d提示:3,5,6;4,5,5;2,6,6;6,4,4.6.c提示:根据多边形内角和定理得(n-2) 180=n120.7.d提