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导数及导数的应用（二）导数及导数的应用五、可导与连续的关系定理 凡可导函数都是连续函数.定理3.2.1（函数单调性的判定法）设y=f(x)在a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，则 单调性的应用利用导数性质来判断函数的性质，它包含两个典型的问题：（1）求函数单调区间（2）证明不等式，通常是两项不等式【例】讨论函数y=x3的单调性求函数单调区间的步骤：（1）确定f(x)的定义域；（2）求出函数 在考察范围内的全部驻点和不可导点（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；（3）用这些驻点和不可导点将考察范围划分成若干个子区间；（4）确定f(x)在各部分区间的符号，据判定定理判定出f(x)的单调性 。 极值的必要条件定理3.2.2（极值的必要条件）设函数f(x)在点x0处可导，且在点 x0处取得极值，那么函数 f(x)在点x0处的导数为零，即 f (x0) =0。1.可导函数的极值点必是它的驻点。从而有几何意义: 可导函数的图形在极值点处的切线是与 x 轴平行的 (罗尔定理) 。2.对可导函数来说, 驻点不一定是极值点。即曲线上有水平切线的地方, 函数不一定有极值。如3.对于函数y= |x| , 我们已知x = 0是函数的连续不可导点。但x=0是函数的极小值点。 如图。实际上，连续不可导点也可能是极值点。 因而函数还可能在连续不可导点处取得极值。 求极值的方法：（1）确定函数f(x)的考察范围，（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；（2）求出函数f(x)的导数 f (x)；求出函数 f(x)的所有驻点及不可导点，即求出f (x)=0的根和 f (x)不存在的点； （3）列表，利用第一充分条件或第二充分条件，判定上述驻点或不可导点是否为函数的极值点，并求出相应的极值。 （3）列表说明：1.最值是一个整体概念，在某一范围内，最值若存在，只能是唯一的；2. 最值点可以是 I 内部的点，也可以是端点；3. 如果最值点不是 I 的端点，那么它必定是极值点；极值点不一定是最值点；4. 当函数存在唯一的极值点时，函数的极大（小）值就是函数的最大（小）值。求最值的方法（一）：（1）确定函数f(x)的考察范围（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；（2）求出函数 f (x)在内的所有可能极值点：驻点及不可导点，即求出 f (x)=0的根和 f (x)不存在的点； （3）计算函数f (x)在驻点、不可导点处及端点a，b处的函数值； （4）比较这些函数值，其中最大者的即为函数
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