1.2.1充要条件

1 2 2充要条件 高中选修 数学2 1 新教材 华北石油第一中学黄石头 复习 充分条件 必要条件的定义 若 则p是q成立的 条件q是p成立的 条件 充分 必要 思考 已知p 整数a是 的倍数 q 整数a是 和 的倍数 那么p是q的什么条件 1 定义 称 p是q的充分必要条件 简称充要条件 显然 如果p是q的充要条件 那么q也是p的充要条件 p与q互为充要条件 也可以说成 p与q等价 1 充分且必要条件2 充分非必要条件3 必要非充分条件4 既不充分也不必要条件 各种条件的可能情况 充分非必要条件 必要非充分条件 既不充分也不必要条件 充分且必要条件 2 从逻辑推理关系看充分条件 必要条件 注 一般情况下若条件甲为 条件乙为 3 从集合与集合的关系看充分条件 必要条件 充分非必要条件 必要非充分条件 既不充分也不必要条件 4 若A B 则甲是乙的 充分且必要条件 3 从集合与集合的关系看充分条件 必要条件 小结充分必要条件的判断方法 定义法 集合法 等价法 逆否命题 例1 下列各题中 那些p是q的充要条件 1 p b 0 q 函数f x ax2 bx c是偶函数 2 P x 0 y 0 q xy 0 3 P a b q a c b c 例2 请用 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 填空 1 x 2 x 3 0 是 x 2 的 条件 2 同位角相等 是 两直线平行 的 条件 3 x 3 是 x2 9 的 条件 4 四边形的对角线相等 是 四边形为平行四边形 的 条件 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 例3 在下列电路图中 闭合开关A是灯泡B亮的什么条件 如图 1 所示 开关A闭合是灯泡B亮的条件 如图 2 所示 开关A闭合是灯泡B亮的条件 如图 3 所示 开关A闭合是灯泡B亮的条件 如图 4 所示 开关A闭合是灯泡B亮的条件 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 例4已知 O的半径为r 圆心O到直线L的距离为d 求证 d r是直线L与 O相切的充要条件 分析 设 p d r q 直线L与 O相切 要证p是q的充要条件 只需分别证明 充分性和必要性即可 例4已知 O的半径为r 圆心O到直线L的距离为d 求证 d r是直线L与 O相切的充要条件 分析 设 p d r q 直线L与 O相切 要证p是q的充要条件 只需分别证明 充分性和必要性即可 证明 如图 作于点P 则OP d 若d r 则点P在上 在直线上任取一点Q 异于点P 连接OQ 在中 OQ OP r 1 充分性 pq 若直线与相切 不妨设切点为P 则 d OP r 2 必要性 qp 练习1 变 若A是B的必要而不充分条件 C是B的充要条件 D是C的充分而不必要条件 那么D是A的 充分不必要条件 1 已知p q都是r的必要条件 s是r的充分条件 q是s的充分条件 则 1 s是q的什么条件 2 r是q的什么条件 3 P是q的什么条件 充要条件 充要条件 必要不充分条件 注 定义法 图形分析 必要条件 充分条件 必要条件 3 填写 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分又不必要 1 sinA sinB是A B的 条件 2 在 ABC中 sinA sinB是A B的 条件 既不充分又不必要 充要条件 4 a b成立的充分不必要的条件是 A ac bcB a c b cC a c b cD ac2 bc2 5 关于x的不等式 x x 1 m的解集为R的充要条件是 A m 0 B m 0 C m 1 D m 1 D C 练习2 1 设集合M x x 2 N x x 3 那么 x M或x N 是 x M N 的 A 充要条件B必要不充分条件C充分不必要D不充分不必要 B 注 集合法 2 a R a 3成立的一个必要不充分条件是 A a 3B a 2C a2 9D 0 a 2 A 充分不必要条件 注 等价法 转化为逆否命题 2 若 A是 B的充要条件 C是 B的充要条件 则A为C的 条件A 充要B必要不充分C充分不必要D不充分不必要 集合法与转化法 1 已知P 2x 3 1 q 1 x2 x 6 0 则 p是 q的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 2 已知p x 1 2 q x2 5x 6 则非p是非q的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件 练习4 A A 注意点 1 在判断条件时 要特别注意的是它们能否互相推出 切不可不加判断以单向推出代替双向推出 2 搞清 A是B的充分条件与A是B的充分非必要条件之间的区别与联系 A是B的必要条件与A是B的必要非充分条件之间的区别与联系 注意几种方法的灵活使用 定义法 集合法 逆否命题法 判断的技巧 向定语看齐 顺向为充 原命题真 逆向为必 逆命题为真 等价性 逆否为真即为充 否命为真即为必 练习 求证 关于x的方程ax2 bx c 0有一个根为1的充要条件是a b c 0 解题回顾 充要条件的证明一般分两步 证充分性即证A B 证必要性即证B A 练习6 设x y R 求证 x y x y 成立的充要条件是xy 0 充要条件的证明的两个方面 1 必要性 x y x y xy 02 充分性 xy 0 x y x y 3 点明结论 练习7 已知关于x的方程 1 a x2 a 2 x 4 0 a R 求 方程有两个正根