高考数学考前押题 抛物线(1).doc

2014高考数学考前押题：抛物线抛物线的定义和标准方程1. o为坐标原点,f为抛物线c:y2=4x的焦点,p为c上一点,若|pf|=4,则pof的面积为()(a)2 (b)2 (c)2 (d)4解析:设p(xp,yp)(yp0)由抛物线定义知,xp+=4,xp=3,yp=2,因此spof=2=2.故选c.答案:c2.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点o,并且经过点m(2,y0).若点m到该抛物线焦点的距离为3,则|om|等于()(a)2 (b)2(c)4 (d)2解析:由题意设抛物线方程为y2=2px(p0),则m到焦点的距离为xm+=2+=3,p=2,y2=4x.=42,|om|=2.故选b.答案:b3.已知f是抛物线y2=x的焦点,a,b是该抛物线上的两点,|af|+|bf|=3,则线段ab的中点到y轴的距离为()(a) (b)1 (c) (d)解析:|af|+|bf|=xa+xb+=3,xa+xb=.线段ab的中点到y轴的距离为=.故选c.答案:c4.抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是()(a)1 (b)2 (c)4 (d)8解析:抛物线y2=8x的焦点为(2,0),准线方程为x=-2,焦点到准线的距离为4.故选c.答案:c5.设抛物线y2=8x上一点p到y轴的距离是4,则点p到该抛物线焦点的距离是()(a)4(b)6(c)8(d)12解析:如图所示,抛物线的焦点为f(2,0),准线方程为x=-2,由抛物线的定义知:|pf|=|pe|=4+2=6.故选b.答案:b6.若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=;准线方程为.解析:因为抛物线方程为y2=2px,所以焦点坐标为,又焦点坐标为(1,0),则p=2,准线方程为x=-1.答案:2x=-17.如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后,水面宽m.解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p0),则a(2,-2),将其坐标代入x2=-2py,得p=1.x2=-2y.当水面下降1 m,得d(x0,-3)(x00),将其坐标代入x2=-2y得=6,x0=,水面宽|cd|=2 m.答案:28.动点p到点f(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点p的轨迹方程是.解析:由抛物线的定义知,点p的轨迹是以f为焦点,定直线x+2=0为准线的抛物线,故其标准方程为y2=8x.答案:y2=8x9.已知过抛物线y2=4x的焦点f的直线交该抛物线于a、b两点,|af|=2,则|bf|=.解析:设a(x0,y0),由抛物线定义知x0+1=2,x0=1,则直线abx轴,|bf|=|af|=2.答案:2抛物线的几何性质及其应用1.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a、b两点,若线段ab的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()(a)x=1(b)x=-1(c)x=2(d)x=-2解析:y2=2px的焦点坐标为,过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则y1+y2=2p,=p=2,抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选b.答案:b2.设m(x0,y0)为抛物线c:x2=8y上一点,f为抛物线c的焦点,以f为圆心、|fm|为半径的圆和抛物线c的准线相交,则y0的取值范围是()(a)(0,2) (b)0,2(c)(2,+)(d)2,+)解析:x2=8y,焦点f的坐标为(0,2),准线方程为y=-2.由抛物线的定义知|mf|=y0+2.以f为圆心、|fm|为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.由于以f为圆心、|fm|为半径的圆与准线相交,又圆心f到准线的距离为4,故42.故选c.答案:c3.在抛物线y=x2+ax-5(a0)上取横坐标为x1=-4,x2=2的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切,则抛物线顶点的坐标为()(a)(-2,-9)(b)(0,-5)(c)(2,-9) (d)(1,-6)解析:当x1=-4时,y1=11-4a;当x2=2时,y2=2a-1,所以割线的斜率k=a-2.设直线与抛物线的切点横坐标为x0,由y=2x+a得切线斜率为2x0+a,2x0+a=a-2,x0=-1.直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a-4),切线方程为y+a+4=(a-2)(x+1),即(a-2)x-y-6=0.圆5x2+5y2=36的圆心到切线的距离d=.由题意得=,即(a-2)2+1=5.又a0,a=4,此时y=x2+4x-5=(x+2)2-9,顶点坐标为(-2,-9).故选a.答案:a4.已知抛物线c:y2=2px(p0)的准线为l,过m(1,0)且斜率为的直线与l相交于点a,与c的一个交点为b,若=,则p=.解析:如图所示,由ab的斜率为,知=60,又=,m为ab的中点.过点b作bp垂直准线l于点p,则abp=60,bap=30.|bp|=|ab|=|bm|,m为焦点,即=1,p=2.答案:2 直线与抛物线位置关系1.)已知点a(2,0),抛物线c:x2=4y的焦点为f,射线fa与抛物线c相交于点m,与其准线相交于点n,则|fm|mn|等于()(a)2 (b)12 (c)1 (d)13解析:过点m作mm垂直于准线y=-1于点m,则由抛物线的定义知|mm|=|fm|,所以=sinmnm,而mnm为直线fa的倾斜角的补角.因为直线fa过点a(2,0)、f(0,1),所以kfa=-=tan ,所以sin =,所以sinmnm=,即|fm|mn|=1.故选c.答案:c2.设抛物线c:y2=4x的焦点为f,直线l过f且与c交于a,b两点.若|af|=3|bf|,则l的方程为()(a)y=x-1或y=-x+1(b)y=(x-1)或y=-(x-1)(c)y=(x-1)或y=-(x-1)(d)y=(x-1)或y=-(x-1)解析:设a(x1,y1),b(x2,y2),又f(1,0),则=(1-x1,-y1), =(x2-1,y2),由题意知=3,因此即又由a、b均在抛物线上知解得直线l的斜率为=,因此直线l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1).故选c.答案:c3已知抛物线c:y2=8x与点m(-2,2),过c的焦点且斜率为k的直线与c交于a、b两点,若=0,则k等于()(a)(b) (c) (d)2解析:法一设直线方程为y=k(x-2),a(x1,y1)、b(x2,y2),由得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,x1+x2=,x1x2=4,由=0,得(x1+2,y1-2)(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+k(x1-2)-2k(x2-2)-2=0,代入整理得k2-4k+4=0,解得k=2.故选d.法二如图所示,设f为焦点,取ab中点p,过a、b分别作准线的垂线,垂足分别为g、h,连接mf,mp,由=0,知mamb,则|mp|=|ab|=(|ag|+|bh|),所以mp为直角梯形bhga的中位线,所以mpagbh,所以gam=amp=map,又|ag|=|af|,|am|=|am|,所以amgamf,所以afm=agm=90,则mfab,所以k=-=2.答案:d4.设抛物线y2=8x的焦点为f,准线为l,p为抛物线上一点,pal,a为垂足,如果直线af的斜率为-,那么|pf|等于()(a)4(b)8 (c)8 (d)16解析:如图所示,直线af的方程为y=-(x-2),与准线方程x=-2联立得a(-2,4).设p(x0,4),代入抛物线y2=8x,得8x0=48,x0=6,|pf|=x0+2=8,选b.答案:b5.(2009年大纲全国卷,文11)已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线c:y2=8x相交于a、b两点,f为c的焦点,若|fa|=2|fb|,则k等于()(a)(b) (c)(d)解析:将y=k(x+2)代入y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.设交点的横坐标分别为xa,xb,则xa+xb=-4,xaxb=4.又|fa|=xa+2,|fb|=xb+2,|fa|=2|fb|,2xb+4=xa+2.xa=2xb+2.将代入得xb=-2,xa=-4+2=-2.故xaxb=4.解之得k2=.而k0,k=,满足0.故选d.答案:d6.过抛物线y2=4x的焦点f的直线交该抛物线于a,b两点.若|af|=3,则|bf|=.解析:由题意知,抛物线的焦点f的坐标为(1,0),又|af|=3,由抛物线定义知,点a到准线x=-1的距离为3点a的横坐标为2.将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知点a的纵坐标y=2,a(2,2),直线af的方程为y=2(x-1).由解得或由图知,点b的坐标为,|bf|=-(-1)= .答案:7.已知抛物线c的顶点为o(0,0),焦点为f(0,1).(1)求抛物线c的方程;(2)过点f作直线交抛物线c于a,b两点,若直线ao,bo分别交直线l:y=x-2于m,n两点,求|mn|的最小值.解:(1)由题意可设抛物线c的方程为x2=2py(p0),则=1,所以抛物线c的方程为x2=4y.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),直线ab的方程为y=kx+1.由消去y,整理得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.从而|x1-x2|=4.由解得点m的横坐标xm=.同理,点n的横坐标xn=.所以|mn|=|xm-xn|=8=.令4k-3=t,t0,则k=.当t0时,|mn|=22.当t0).点m(x0,y0)在抛物线c2上,过m作c1的切线,切点为a,b(m为原点o时,a,b重合于o).当x0=1-时,切线ma的斜率为-.(1)求p的值;(2)当m在c2上运动时,求线段ab中点n的轨迹方程(a,b重合于o时,中点为o).解:(1)因为抛物线c1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y=,且切线ma的斜率为-,所以a点坐标为.故切线ma的方程为y=-(x+1)+.因为点m(1-y0)在切线ma及抛物线c2上,于是y0=-(2-)+=-, y0=-=-. 由得p=2.(2)设n(x,y),a,b,x1x2,由n为线段ab中点知x=, y=. 切线ma,mb的方程为y=(x-x1)+ , y=(x-x2)+ . 由得ma,mb的交点m(x0,y0)的坐标为x0=,y0=.因为点m(x0,y0)在c2上,即=-4y0,所以x1x2=-. 由得x2=y,x0.当x1=x2时,a,b重合于原点o,ab中点n为o,坐标满足x2=y.因此ab中点n的轨迹方程为x2=y.9.已知抛物线c顶点为原点,其焦点f(0,c)(c0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设p为直线l上的点,过点p作抛物线c的两条切线pa,pb,其中a,b为切点.(1)求抛物线c的方程;(2)当点p(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线ab的方程;(3)当点p在直线l上移动时,求|af|bf|的最小值.解:(1)抛物线c的焦点f(0,c)(c0)到直线l:x-y-2=0的距离为,=,得c=1,f(0,1),即抛物线c的方程为x2=4y.(2)设切点a(x1,y1),b(x2,y2),由x2=4y得y=x,切线pa:y-y1=x1(x-x1),有y=x1x-+y1,而=4y1,即切线pa:y=x1x-y1,同理可得切线pb:y=x2x-y2.两切线均过定点p(x0,y0),y0=x1x0-y1,y0=x2x0-y2,由此两式知点a,b均在直线y0=xx0-y上,直线ab的方程为y0=xx0-y,即y=x0x-y0.(3)设点p的坐标为(x,y),由x-y-2=0,得x=y+2,则|af|bf|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由得y2+(2y-x2)y+y2=0,有y1+y2=x2-2y,y1y2=y2,|af|bf|=y2+x2-2y+1=y2+(y+2)2-2y+1=22+,当y=-,x=时,即p时,|af|bf|取得最小值.10.如图,等边三角形oab的边长为8,且其三个顶点均在抛物线e:x2=2py(p0)上.(1)求抛物线e的方程;(2)设动直线l与抛物线e相切于点p,与直线y=-1相交于点q,证明以pq为直径的圆恒过y轴上某定点.(1)解:依题意,|ob|=8,boy=30.设b(x,y),则x=|ob|sin 30=4,y=|ob|cos 30=12.因为点b(4,12)在x2=2py上,所以(4)2=2p12,解得p=2.故抛物线e的方程为x2=4y.(2)证明:由(1)知y=x2,y=x.设p(x0,y0),则x00,y0=,且l的方程为y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.由得所以q为.设m(0,y1),令=0对满足y0=(x00)的x0,y0恒成立.由于=(x0,y0-y1), =,由=0,得-y0-y0y1+y1+=0,即(+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)由于(*)式对满足y0=(x00)的y0恒成立,所以解得y1=1.故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点m(0,1).11.如图所示,在直角坐标系xoy中,点p到抛物线c:y2=2px(p0)的准线的距离为.点m(t,1)是c上的定点,a,b是c上的两动点,且线段ab被直线om平分.(1)求p,t的值;(2)求abp面积的最大值.解:(1)由题意知得(2)由(1)知m(1,1),直线om的方程为y=x,设a(x1,y1),b(x2,y2),线段ab的中点为q(m,m).由题意知,设直线ab的斜率为k(k0).由得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,故k2m=1,所以直线ab的方程为y-m=(x-m),即x-2my+2m2-m=0.由消去x,整理得y2-2my+2m2-m=0,所以=4m-4m20,y1+y2=2m,y1y2=2m2-m.从而|ab|=|y1-y2|=.设点p到直线ab的距离为d,则d=.设abp的面积为s,则s=|ab|d=|1-2(m-m2)|.由=4m-4m20,得0m1.令u=,0u,则s=u(1-2u2).设s(u)=u(1-2u2),00)过点a(1,-2).(1)求抛物线c的方程,并求其准线方程.(2)是否存在平行于oa(o为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线c有公共点,且直线oa与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.解:(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p1,所以p=2.故所求的抛物线c的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.由得y2+2y-2t=0.因为直线l与抛物线c有公共点,所以=4+8t0,解得t-.另一方面,由直线oa与l的距离d=可得=,解得t=1.因为-1,1,所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.抛物线的定义和标准方程及其应用1.已知f是抛物线y2=4x的焦点,p是圆x2+y2-8x-8y+31=0上的动点,则|fp|的最小值是()(a)3(b)4(c)5(d)6解析:圆x2+y2-8x-8y+31=0的圆心c坐标为(4,4),半径为1,|pf|cf|-1,当p、c、f三点共线时,|pf|取到最小值,由y2=4x知f(1,0),|pf|min=-1=4.故选b.答案:b2.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点f与双曲线-=1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为k,点a在抛物线上且|ak|=|af|,则a点的横坐标为()(a)2 (b)3(c)2 (d)4解析:由-=1得c2=4+5=9.双曲线右焦点为(3,0),抛物线焦点坐标为(3,0),抛物线方程为y2=12x.设d为点a(x0,y0)到准线的距离,由抛物线定义知d=|af|=x0+3,由题意得|y0|=x0+3,代入抛物线方程得(x0+3)2=12x0,解得x0=3.故选b.答案:b 抛物线几何性质的应用1.在直角坐标系xoy中,有一定点a(2,1),若线段oa的垂直平分线过抛物线y2=2px(p0)的焦点,则该抛物线的准线方程是.解析:线段oa的斜率k=,中点坐标为.所以线段oa的垂直平分线的方程是y-=-2(x-1),令y=0得到x=.即抛物线的焦点为.所以该抛物线的准线方程为x=-.答案:x=-2.已知点a(4,4)在抛物线y2=px(p0)上,该抛物线的焦点为f,过点a作直线l:x=-的垂线,垂足为m,则maf的平分线所在直线的方程为.解析:点a在抛物线上,所以16=4p,所以p=4,所以抛物线的焦点为f(1,0),准线方程为x=-1,垂足m(-1,4),由抛物线的定义得|af|=|am|,所以maf的平分线所在的直线就是线段mf的垂直平分线,kmf=-2,所以maf的平分线所在的直线方程为y-4=(x-4),即x-2y+4=0.答案:x-2y+4=0 直线与抛物线的位置关系1.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦ab,则ab中点到x轴的最短距离为()(a)(b)(c)1 (d)2解析:易知,ab的斜率存在,设ab方程为y=kx+b.由得x2-4kx-4b=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个根,x1+x2=4k,x1x2=-4b,又|ab|=6,=6,化简得b=-k2,设ab中点为m(x0,y0),则y0=+b=2k2+-k2=k2+=(k2+1)+ -12-1=2.当且仅当k2+1=,即k2=时,y0取到最小值2.故选d.答案:d2.)已知e(2,2)是抛物线c:y2=2px上一点,经过点(2,0)的直线l与抛物线c交于a,b两点(不同于点e),直线ea,eb分别交直线x=-2于点m,n.(1)求抛物线方程及其焦点坐标;(2)已知o为原点,求证:mon为定值.解:(1)点e(2,2)在抛物线y2=2px上,4=2p2,p=1.抛物线方程为y2=2x,焦点坐标为.(2)显然,直线l斜率存在,且不为0.设l斜率为k,则l方程为y=k(x-2).由得ky2-2y-4k