概率统计与随机过程 4-2.ppt

3 4二维随机变量函数的分布 问题 已知二维随机变量 X Y 的概率特性g x y 为已知的二元函数 Z g X Y 求 Z的概率特性 方法 转化为 X Y 的事件 当 X Y 为离散型随机变量时 Z也为离散型 当 X Y 为连续型随机变量时 其中 例1设二维离散型随机变量 X Y 的概率分布为 解根据 X Y 的联合概率分布可得如下表格 X Y X Y XY Y X 2 10112 0 12132 10 10 20 10 10 1 20 max X Y 101122 设X B n1 p Y B n2 p 且X Y相互独立 则X Y B n1 n2 p 关于离散型随机变量的两个重要结论 设X P 1 Y P 2 且X Y相互独立 则X Y P 1 2 问题 已知二维随机变量 X Y 的密度函数 g x y 为已知的二元函数 Z g X Y 求 Z的密度函数 方法 从求Z的分布函数出发 将Z的分布函数转化为 X Y 的事件建立一个新的二维随机变量 Z X 或 Z Y 求其边缘分布得Z的密度函数 1 和的分布 Z X Y 设 X Y 为连续型随机变量 联合密度函数为f x y 则 x y z 或 特别地 若X Y相互独立 则 或 或 称之为函数fX z 与fY z 的卷积 例1已知 X Y 的联合概率密度为 Z X Y 求fZ z 解法一 图形定限法 显然X Y相互独立 解法二从定义出发 没有独立性假设 当z 0时 当0 z 1时 当1 z 2时 z 1 当2 z时 对于X Y不相互独立的情形可同样的用直接求密度函数与通过分布函数求密度函数两种方法求和的分布 例2已知 X Y 的联合密度函数为 Z X Y 求fZ z 解 图形定限法 由公式 1 当z2 当0 z 1 当1 z 2 fZ z 0 正态随机变量的情形 若X Y相互独立 则 若 X Y 则 则 推广 已知 X Y 的联合密度f x y 求Z aX bY c的密度函数 其中a b c为常数 a b 0 2 极值分布 即极大值 极小值的分布 对于离散型随机变量的极值分布可直接计算 只讨论相互独立的随机变量的极值分布 例5X Y相互独立 X Y 参数为0 5的0 1分布 求M max X Y 的概率分布 解 对于连续型随机变量 设X Y相互独立 X FX x Y FY y M max X Y N min X Y 求M N的分布函数 推广至相互独立的n个随机变量的情形 则 例6设系统L由相互独立的n个元件组成 连接方式为 串联 并联 冷贮备 起初由一个元件工作 其它n 1个元件做冷贮备 当工作元件失效时 贮备的元件逐个地自动替换 4 L为n个取k个的表决系统 即n个元件中有k个或k个以上的元件正常工作时 系统L才正常工作 求在以上4种组成方式下 系统L的寿命X的密度函数 解 1 2 3 n 2时 X1 X2与X3也相互独立 故 归纳地可以证明 4 3 平方和的分布 Z X2 Y2 设 X Y 的联合密度函数为f x y 则 习题29 X N 0 1 Y N 0 1 X Y相互独立 Z X2 Y2 则 称为自由度为2的 2分布 4 商的分布 Z X Y习题21 例4已知 X Y 的联合分布函数为 求Z X Y的概率密度函数 解 平方和的分布 习题20 作业 Page122 124 15 17 18 22 24 28 31 另一种计算fZ z 的方法 先构造一个新的二维随机变量 Z U 它们是 X Y 的函数 而Z aX bY c 求 Z U 的联合密度函数f z u 求边缘密度fZ z h s有连续的偏导数 记 则 已知 X Y 的联合密度fXY x y 求 Z U 的联合密度函数fZU z u 的方法 证 例2已知 X Y 的联合密度函数为 Z X Y 求fZ z 解法三 令 2 1 1 已知 X Y 的联合密度f x y 求Z aX bY c的密度函数 其中a b c为常数 a b 0 令 例3已知 X Y 的联合密度函数为 Z 3X 2Y 求fZ z 解 令 利用此种方法也可以求某些其他的函数的密度 2