利用完全平方差公式进行因式分解

4 3公式法 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第四章因式分解 第2课时完全平方公式 1 理解并掌握用完全平方公式分解因式 重点 2 灵活应用各种方法分解因式 并能利用因式分解进行计算 难点 导入新课 复习引入 1 因式分解 把一个多项式转化为几个整式的积的形式 2 我们已经学过哪些因式分解的方法 1 提公因式法 2 平方差公式 a2 b2 a b a b 讲授新课 你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗 同学们拼出图形为 这个大正方形的面积可以怎么求 a b 2 a2 2ab b2 将上面的等式倒过来看 能得到 a2 2ab b2 a2 2ab b2 我们把a 2ab b 和a 2ab b 这样的式子叫作完全平方式 观察这两个式子 1 每个多项式有几项 3 中间项和第一项 第三项有什么关系 2 每个多项式的第一项和第三项有什么特征 三项 这两项都是数或式的平方 并且符号相同 是第一项和第三项底数的积的 2倍 完全平方式的特点 1 必须是三项式 或可以看成三项的 2 有两个同号的数或式的平方 3 中间有两底数之积的 2倍 完全平方式 简记口诀 首平方 尾平方 首尾两倍在中央 凡具备这些特点的三项式 就是完全平方式 将它写成完全平方形式 便实现了因式分解 b2 a b a2 首2 尾2 2 首 尾 首 尾 2 两个数的平方和加上 或减去 这两个数的积的2倍 等于这两个数的和 或差 的平方 3 a 4ab 4b 2 2 m 6m 9 2 1 x 4x 4 2 x 2 x 2 a a2b a 2b 2b 对照a 2ab b a b 填空 m m 3 3 x 2 m 3 下列各式是不是完全平方式 1 a2 4a 4 2 1 4a 3 4b2 4b 1 4 a2 ab b2 5 x2 x 0 25 是 2 因为它只有两项 不是 3 4b 与 1的符号不统一 不是 分析 不是 是 4 因为ab不是a与b的积的2倍 例1如果x2 6x N是一个完全平方式 那么N是 A 11B 9C 11D 9 B 解析 根据完全平方式的特征 中间项 6x 2x 3 故可知N 3 2 9 变式训练如果x2 mx 16是一个完全平方式 那么m的值为 解析 16 4 2 故 m 2 4 m 8 8 典例精析 方法总结 本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征 根据参数所在位置 结合公式 找出参数与已知项之间的数量关系 从而求出参数的值 计算过程中 要注意积的2倍的符号 避免漏解 例2分解因式 1 16x2 24x 9 2 x2 4xy 4y2 分析 1 中 16x2 4x 2 9 3 24x 2 4x 3 所以16x2 24x 9是一个完全平方式 即16x2 24x 9 4x 2 2 4x 3 3 2 b2 a2 2 中首项有负号 一般先利用添括号法则 将其变形为 x2 4xy 4y2 然后再利用公式分解因式 解 1 16x2 24x 9 4x 3 2 4x 2 2 4x 3 3 2 2 x2 4xy 4y2 x2 4xy 4y2 x 2y 2 例3把下列各式分解因式 1 3ax2 6axy 3ay2 2 a b 2 12 a b 36 解 1 原式 3a x2 2xy y2 3a x y 2 分析 1 中有公因式3a 应先提出公因式 再进一步分解因式 2 中将a b看成一个整体 设a b m 则原式化为m2 12m 36 2 原式 a b 2 2 a b 6 62 a b 6 2 利用公式把某些具有特殊形式 如平方差式 完全平方式等 的多项式分解因式 这种分解因式的方法叫做公式法 概念学习 因式分解 1 3a2x2 24a2x 48a2 2 a2 4 2 16a2 针对训练 a2 4 4a a2 4 4a 解 1 原式 3a2 x2 8x 16 3a2 x 4 2 2 原式 a2 4 2 4a 2 a 2 2 a 2 2 例4把下列完全平方公式分解因式 1 1002 2 100 99 99 2 342 34 32 162 解 1 原式 100 99 2 原式 34 16 2 1 2500 例5已知x2 4x y2 10y 29 0 求x2y2 2xy 1的值 112 121 解 x2 4x y2 10y 29 0 x 2 2 y 5 2 0 x 2 2 0 y 5 2 0 x 2 0 y 5 0 x 2 y 5 x2y2 2xy 1 xy 1 2 方法总结 此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数的和的形式 然后利用非负数性质解答问题 例6已知a b c分别是 ABC三边的长 且a2 2b2 c2 2b a c 0 请判断 ABC的形状 并说明理由 ABC是等边三角形 解 由a2 2b2 c2 2b a c 0 得a2 2ab b2 b2 2bc c2 0 即 a b 2 b c 2 0 a b 0 b c 0 a b c 当堂练习 1 下列四个多项式中 能因式分解的是 A a2 1B a2 6a 9C x2 5yD x2 5y 2 把多项式4x2y 4xy2 x3分解因式的结果是 A 4xy x y x3B x x 2y 2C x 4xy 4y2 x2 D x 4xy 4y2 x2 3 若m 2n 1 则m2 4mn 4n2的值是 B B 1 4 若关于x的多项式x2 8x m2是完全平方式 则m的值为 4 5 把下列多项式因式分解 1 x2 12x 36 2 4 2a b 2 4 2a b 1 3 y2 2y 1 x2 2 原式 2 2a b 2 2 2a b 1 1 4a 2b 1 2 解 1 原式 x2 2 x 6 6 2 x 6 2 3 原式 y 1 x y 1 x y 1 x 2 原式 6 计算 1 38 92 2 38 9 48 9 48 92 解 1 原式 38 9 48 9 2 100 7 分解因式 1 4x2 4x 1 2 小聪和小明的解答过程如下 他们做对了吗 若错误 请你帮忙纠正过来 x2 2x 3 2 原式 x2 6x 9 x 3 2 解 1 原式 2x 2 2 2x 1 1 2x 1 2 小聪 小明 8 1 已知a b 3 求a a 2b b2的值 2 已知ab 2 a b 5 求a3b 2a2b2 ab3的值 原式 2 52 50 解 1 原式 a2 2ab b2 a b 2 当a b 3时 原式 3