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文档简介
1 1 2四种命题 阅读教材 根据下面的知识结构图阅读教材 并识记四种命题的概念 初步掌握确定它们的方法 知识链接 1 命题的形式及构成 命题一般形式 若p 则q 其中p为条件 q为结论 2 找出命题的条件和结论的方法 先将命题改写成 若p 则q 的形式 再寻找条件p和结论q 3 判断命题真假的方法 根据已学过的知识直接判断 或根据已知的正确结论推证 主题一 互逆命题 自主认知 1 观察下列两个命题 它们的条件和结论分别是什么 1 若一个四边形的两条对角线相等 则这个四边形是矩形 2 若一个四边形是矩形 则其两对角线相等 提示 命题 1 的条件是 四边形的两条对角线相等 结论是 四边形是矩形 命题 2 的条件是 四边形是矩形 结论是 两对角线相等 2 通过问题1 你发现这两个命题的条件和结论有什么关系 提示 它们的条件和结论互换了 根据以上探究过程 试着写出互逆命题定义 1 定义 对于两个命题 如果 那么这样的两个命题叫做互逆命题 其中一个命题叫做原命题 另一个叫做 2 形式 若原命题为 若p 则q 则它的逆命题为 一个命题的条件和结论分别是另一个 命题的结论和条件 原命题的逆命题 若q 则p 合作探究 1 任何一个命题都有逆命题吗 提示 任何一个命题都可以写成 若p 则q 的形式 通过交换条件 结论可以得到它的逆命题 因而任何一个命题都有逆命题 2 写一个命题的逆命题的关键是什么 提示 关键是找到原命题的条件与结论 然后进行交换 过关小练 1 命题 若a 3 则a 6 的逆命题是 A 真命题B 假命题C 不是命题D 没有逆命题 解析 选B 命题 若a 3 则a 6 的逆命题为 若a 6 则a 3 是假命题 因a 6 不妨取a 5 此时 5 3 故为假命题 2 命题 实数的平方是非负数 的逆命题是 解析 命题 实数的平方是非负数 改写为 若一个数是实数 则它的平方是非负数 其逆命题是 若一个数的平方是非负数 则这个数是实数 答案 若一个数的平方是非负数 则这个数是实数 主题二 互否命题 自主认知 1 观察下列两个命题 它们的条件和结论分别是什么 1 若一个四边形的两条对角线相等 则这个四边形是矩形 2 若一个四边形两条对角线不相等 则这个四边形不是矩形 提示 命题 1 的条件是 四边形的两条对角线相等 结论是 四边形是矩形 命题 2 的条件是 四边形的两条对角线不相等 结论是 四边形不是矩形 2 通过问题1 你发现这两个命题的条件与结论有什么关系 提示 其中一个命题中条件与结论恰好是另一个命题中条件与结论的否定 根据以上探究过程 试着写出互否命题的定义 1 定义 对于两个命题 其中 这样的两个命题叫做互否命题 如果把其中的一个命题叫做原命题 那么另一个叫做原命题的否命题 2 形式 原命题为 若p 则q 否命题为 一个命题的条件和结论恰好是另一个 命题的条件的否定和结论的否定 若p 则q 合作探究 1 写一个命题的否命题时 关键的步骤是什么 提示 写一个命题的否命题时 关键的步骤是对条件与结论进行否定 拓展延伸 一些常用的关键词的否定词注意一些常用的关键词的否定 如 等于 的否定是 不等于 大于 的否定是 不大于 小于 的否定是 不小于 都是 的否定是 不都是 至多有一个 的否定是 至少有两个 至多有n个 的否定是 至少有n 1个 至少有一个 的否定是 一个也没有 任意 的否定是 某一个 2 一个命题 若p 则q 的否命题是什么 提示 否命题为 若p 则q 过关小练 1 命题 若A B A 则A B B 的否命题是 A 若A B A 则A B BB 若A B B 则A B AC 若A B B 则A B AD 若A B A 则A B B 解析 选A A B A 的否定是 A B A A B B 的否定是 A B B 故选A 2 命题 若x2 1 则x 1 的否命题是 命题 填 真 或 假 解析 命题 若x2 1 则x 1 的否命题是 若x2 1 则x 1 是假命题 答案 假 主题三 互为逆否命题 自主认知 1 观察下列两个命题 它们的条件和结论分别是什么 1 若一个四边形的两条对角线相等 则这个四边形是矩形 2 若一个四边形不是矩形 则其两条对角线不相等 提示 命题 1 的条件是 四边形的两条对角线相等 结论是 四边形是矩形 命题 2 的条件是 四边形不是矩形 结论是 四边形两对角线不相等 2 通过问题1 你发现这两个命题的条件和结论有什么关系 提示 其中一个命题中的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定 根据以上探究过程 试着写出互为逆否命题的定义 1 定义 对于两个命题 其中 这样的两个命题叫做互为逆否命题 如果把其中的一个命题叫做原命题 那么另一个叫做 2 形式 原命题为 若p 则q 逆否命题为 一个命题的条件和结论恰好是另一个 命题的结论的否定和条件的否定 原命题的 逆否命题 若q 则p 合作探究 1 任何一个命题都有逆命题 否命题和逆否命题吗 提示 因为任何一个命题都包含条件和结论两部分 通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题 否命题和逆否命题 因此任何一个命题都有逆命题 否命题和逆否命题 2 写一个命题的逆否命题的关键是什么 它是否可以看成是此命题的逆命题与否命题的综合 提示 写一个命题的逆否命题的关键是找到原命题的条件与结论 交换条件与结论后对其分别进行否定 它不可以看作是逆命题与否命题的综合 实质是对逆命题的条件与结论进行否定 过关小练 1 2015 珠海高二检测 命题 若x2 y2 则x y 的逆否命题是 A 若xy 则x2 y2 C 若x y 则x2 y2 D 若x y 则x2 y2 解析 选C 若x2 y2 则x y 的逆否命题为 若x y 则x2 y2 2 命题 若则 的逆否命题是 解析 命题 若则 的逆否命题是 若则 答案 若则 归纳总结 1 原命题与逆命题概念的两个关注点 1 前提条件 逆命题是将原命题的条件与结论互换 写原命题的逆命题时 不要忽视前提条件 2 互逆性 原命题也可以看作是它的逆命题的逆命题 2 原命题与否命题概念的两个关注点 1 写一个命题的否命题时 要对条件和结论都进行正确否定 避免出现因不能对条件和结论进行正确否定而出现错误 2 原命题也可以看作是它的否命题的否命题 3 逆否命题的两个关注点 1 若p则q 对于不是 若p 则q 形式的命题 一般应先改写为 若p 则q 的形式 再写出其逆否命题 2 换 位 与换 质 将原命题的条件和结论 换位 得逆命题 换质 即否定 得否命题 既 换位 又 换质 得逆否命题 类型一 互逆命题及其真假的判断 典例1 1 命题 若x21或x1D 若x 1或x 1 则x2 1 2 已知命题p 若a是奇数 则a是质数 则命题p的逆命题是 A 若a是奇数 则a是质数B 若a是质数 则a是奇数C 若a不是奇数 则a不是质数D 若a不是质数 则a不是奇数 解题指南 1 首先确定原命题的条件和结论 然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题 2 找出原命题的条件和结论 写出逆命题 解析 1 选B 原命题的条件是x2 1 作为逆命题的结论 原命题的结论是 1 x 1 作为逆命题的条件 即得逆命题 若 1 x 1 则x2 1 2 选B 根据逆命题与原命题之间的关系 条件与结论交换 可得命题p的逆命题 若a是质数 则a是奇数 规律总结 1 写出一个命题的逆命题的方法 1 先确定命题的条件和结论 2 再交换条件和结论的位置 得逆命题 2 判断一个命题的逆命题真假的步骤 1 写逆命题 先写出此命题的逆命题 2 判断真假 判断逆命题的真假 可严格判断按照命题真假的方法判断 巩固训练 请写出下列命题的逆命题 并判断其真假 1 若x 2 则x2 4 2 垂直于同一平面的两直线平行 解析 1 逆命题 若x2 4 则x 2 为真命题 2 逆命题 若两直线平行 则这两条直线垂直于同一个平面 真命题 补偿训练 请写出下列命题的逆命题 并判断原命题和逆命题的真假 1 圆内接四边形的对角互补 2 若A B 则cosA cosB 解析 1 逆命题是 对角互补的四边形是圆内接四边形 原命题是真命题 逆命题为假命题 2 逆命题是 若cosA cosB 则A B 原命题是真命题 逆命题为真命题 类型二 互否命题及其真假的判断 典例2 1 2015 济南高二检测 命题 若f x 是奇函数 则f x 是奇函数 的否命题是 A 若f x 是偶函数 则f x 是偶函数B 若f x 不是奇函数 则f x 不是奇函数C 若f x 是奇函数 则f x 是奇函数D 若f x 不是奇函数 则f x 不是奇函数 2 把下列命题写成 若p 则q 的形式 再写出它的否命题 并判断原命题及否命题的真假 菱形的四条边相等 当ac bc时 a b 如果一个四棱柱有两个侧面垂直于底面 那么该四棱柱是直四棱柱 解题指南 1 根据 若p 则q 的否定是 若p 则q 得否命题 2 首先找出命题的条件和结论 即先写成 若p 则q 的形式 再对条件和结论分别进行否定 即可写出原命题的否命题 然后再进行判断 解析 1 选B 原命题的否命题为 若f x 不是奇函数 则f x 不是奇函数 2 若一个四边形是菱形 则这个四边形的四条边相等 否命题是 若一个四边形不是菱形 则这个四边形的四条边不全相等 原命题为真 否命题为真 若ac bc 则a b 否命题是 若ac bc 则a b 原命题和否命题都为假 若一个四棱柱有两个侧面垂直于底面 则该四棱柱是直四棱柱 否命题是 若一个四棱柱没有两个侧面垂直于底面 则该四棱柱不是直四棱柱 原命题为假 否命题为真 延伸探究 1 变换条件 若把本例 2 中的 四条边相等 改为 两条对角线垂直且平分 则结果如何 解析 若一个四边形是菱形 则这个四边形的两条对角线垂直且平分 为真命题 否命题是 若一个四边形不是菱形 则这个四边形的两条对角线不垂直平分 为真命题 2 变换条件 若把本例 2 改为 当ac2 bc2时 a b 则结果如何 解析 若ac2 bc2 则a b 真命题 否命题是 若ac2 bc2 则a b 假命题 规律总结 写出一个命题的否命题的两个步骤和一个注意点 1 两个步骤 确定原命题的条件和结论 把命题的条件和结论都否定 即可得到命题的否命题 2 一个注意点 否定条件和结论时务必注意准确运用词语的否定 补偿训练 1 已知a b R 命题 若a b 1 则a2 b2 1 的否命题是 A 若a2 b2 1 则a b 1B 若a b 1 则a2 b2 1C 存在a b 1 使a2 b2 1D 若a2 b2 1 则a b 1 解析 选B 因为原命题为 若a b 1 则a2 b2 1 所以其否命题为 若a b 1 则a2 b2 1 2 命题 若x3 y3 1 则x y 的否命题是 解析 否命题为 若x3 y3 1 则x y 答案 若x3 y3 1 则x y 类型三 互为逆否命题及其真假的判断 典例3 1 2015 石家庄高二检测 命题 若a b都是奇数 则a b是偶数 的逆否命题是 A 若a b都不是奇数 则a b是偶数B 若a b是奇数 则a b都是偶数C 若a b不是偶数 则a b都不是奇数D 若a b不是偶数 则a b不都是奇数 2 2015 杭州高二检测 命题 若AB AC 则 ABC是等腰三角形 的逆否命题为 填 真命题 或 假命题 解题指南 1 对条件和结论分别进行否定 再交换位置 或先交换条件和结论 再分别否定条件和结论即得原命题的逆否命题 2 先写出逆否命题 再判断真假 解析 1 选D 因为都是奇数的否定为 a b不都是奇数 a b是偶数的否定为 a b不是偶数 所以 逆否命题为 若a b不是偶数 则a b不都是奇数 2 逆否命题 若 ABC不是等腰三角形 则AB AC 为真命题 答案 真命题 规律总结 1 写原命题的逆否命题的两种方法 1 方法一 先写出原命题的逆命题 再写逆命题的否命题 即得逆否命题 2 方法二 先写出原命题的否命题 再写否命题的逆命题 即得逆否命题 2 得到一个命题的逆否命题的三个步骤第一步 确定原命题的条件和结论 第二步 确定是先交换再否定 还是先否定再交换 第三步 根据对命题的条件与结论的变换与否定写出逆否命题 提醒 一个命题的逆否命题 既可以看作逆命题的否命题 也可以看作否命题的逆命题 拓展延伸 在原命题 逆命题 否命题及逆否命题四种命题中 原命题不是固定的逆命题 否命题 逆否命题都是针对其与原命题的关系而定的 都可以作为原命题 原命题不是固定的 如果把逆命题作为原命题 那么原来的原命题就变为逆命题 同样原来的否命题变为逆否命题 原来的逆否命题变为否命题 巩固训练 2015 山东高考 设m R 命题 若m 0 则方程x2 x m 0有实根 的逆否命题是 A 若方程x2 x m 0有实根 则m 0B 若方程x2 x m 0有实根 则m 0C 若方程x2 x m 0没有实根 则m 0D 若方程x2 x m
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