【步步高】高三数学大一轮复习 12.5二项分布及其应用教案 理 新人教A版 .DOC

12.5二项分布及其应用2014高考会这样考1.考查条件概率和两个事件相互独立的概念；2.考查n次独立重复试验及二项分布的概念；3.考查利用二项分布解决一些简单的实际问题复习备考要这样做1.利用互斥事件、事件的独立性对事件进行分解是计算复杂事件概率的关键，复习时要注意体会总结；2.掌握二项分布的含义，会从实际问题中抽象出二项分布模型1 条件概率及其性质(1)对于任何两个事件a和b，在已知事件a发生的条件下，事件b发生的概率叫做条件概率，用符号p(b|a)来表示，其公式为p(b|a)(p(a)0)在古典概型中，若用n(a)表示事件a中基本事件的个数，则p(b|a).(2)条件概率具有的性质：0p(b|a)1；如果b和c是两个互斥事件，则p(bc|a)p(b|a)p(c|a)2 相互独立事件(1)对于事件a、b，若a的发生与b的发生互不影响，则称a、b是相互独立事件(2)若a与b相互独立，则p(b|a)p(b)，p(ab)p(b|a)p(a)p(a)p(b)(3)若a与b相互独立，则a与，与b，与也都相互独立(4)若p(ab)p(a)p(b)，则a与b相互独立3 二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有_两_种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的(2)在n次独立重复试验中，用x表示事件a发生的次数，设每次试验中事件a发生的概率为p，则p(xk)cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量x服从二项分布，记为xb(n，p)，并称p为成功概率难点正本疑点清源1 “互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系(1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系(2)“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响(3)“互斥”的两个事件可以独立，“独立”的两个事件也可以互斥2 计算条件概率有两种方法(1)利用定义p(b|a)；(2)若n(c)表示试验中事件c包含的基本事件的个数，则p(b|a).1. 如图所示的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_答案解析理解事件之间的关系，设“a闭合”为事件a，“b闭合”为事件b，“c闭合”为事件c，则灯亮应为事件ac，且a，c，之间彼此独立，且p(a)p()p(c).所以p(ac)p(a)p()p(c).2 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为_答案0.128解析依题意可知，该选手的第二个问题必答错，第三、四个问题必答对，故该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率p10.20.80.80.128.3 (2012课标全国)某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布n(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_答案解析设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为a，b，c，显然p(a)p(b)p(c)，该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(abab)c，该部件的使用寿命超过1 000小时的概率p.4 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件a，“第二次出现正面”为事件b，则p(b|a)等于 ()a. b. c. d.答案a解析p(b|a).5 如果xb，则使p(xk)取最大值的k值为()a3 b4 c5 d3或4答案d解析p(x3)c312，p(x4)c411，p(x5)c510，从而易知p(x3)p(x4)p(x5).题型一条件概率例1在100件产品中有95件合格品，5件不合格品现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为_思维启迪：直接利用条件概率公式进行计算或利用古典概型答案解析方法一设a第一次取到不合格品，b第二次取到不合格品，则p(ab)，所以p(b|a).方法二第一次取到不合格品后还剩余99件产品，其中有4件不合格品，故第二次取到不合格品的概率为.探究提高条件概率的求法：(1)利用定义，分别求p(a)和p(ab)，得p(b|a).这是通用的求条件概率的方法(2)借助古典概型概率公式，先求事件a包含的基本事件数n(a)，再在事件a发生的条件下求事件b包含的基本事件数，即n(ab)，得p(b|a).如图，efgh是以o为圆心，半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用a表示事件“豆子落在正方形efgh内”，b表示事件“豆子落在扇形ohe(阴影部分)内”，则(1)p(a)_；(2)p(b|a)_.答案解析(1)由题意可得，事件a发生的概率p(a).(2)事件ab表示“豆子落在eoh内”，则p(ab).故p(b|a).题型二相互独立事件的概率例2甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率思维启迪：(1)利用列方程求p；(2)可用直接法也可用间接法；(3)要分类讨论甲、乙各命中的次数解(1)方法一设“甲投一次球命中”为事件a，“乙投一次球命中”为事件b.由题意得(1p(b)2(1p)2，解得p或p(舍去)，所以乙投球的命中率为.方法二设“甲投一次球命中”为事件a，“乙投一次球命中”为事件b.由题意得：p()p()，于是p()或p()(舍去)故p1p().所以乙投球的命中率为.(2)方法一由题设知，p(a)，p().故甲投球2次，至少命中1次的概率为1p().方法二由题设知，p(a)，p().故甲投球2次，至少命中1次的概率为cp(a)p()p(a)p(a).(3)由题设和(1)知，p(a)，p()，p(b)，p().甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次概率分别为cp(a)p()cp(b)p()，p(a)p(a)p()p()，p()p()p(b)p(b).所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为.探究提高(1)相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；相互互斥事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生；(2)求用“至少”表述的事件的概率时，先求其对立事件的概率往往比较简单(2011山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员a、b、c进行围棋比赛，甲对a、乙对b、丙对c各一盘已知甲胜a、乙胜b、丙胜c的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望e()解(1)设甲胜a的事件为d，乙胜b的事件为e，丙胜c的事件为f，则，分别表示甲不胜a，乙不胜b，丙不胜c的事件因为p(d)0.6，p(e)0.5，p(f)0.5，由对立事件的概率公式知p()0.4，p()0.5，p()0.5.红队至少两人获胜的事件有de，df，ef，def.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为pp(de)p(df)p(ef)p(def)0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.(2)由题意知可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知 f，e，d 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此p(0)p( )0.40.50.50.1，p(1)p( f)p(e)p(d )0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35，p(3)p(def)0.60.50.50.15.由对立事件的概率公式得p(2)1p(0)p(1)p(3)0.4.所以的分布列为0123p0.10.350.40.15因此e()00.110.3520.430.151.6.题型三独立重复试验与二项分布例3某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率思维启迪：预报准确的次数服从二项分布，可直接代入公式进行计算解令x表示5次预报中预报准确的次数，则xb(5，)，故其分布列为p(xk)c()k(1)5k(k0,1,2,3,4,5)(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为p(x2)c()2(1)3100.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为p(x2)1p(x0)p(x1)1c()0(1)5c(1)410.000 320.006 40.99.(3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为c(1)30.02.探究提高独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记x为3人中参加过培训的人数，求x的分布列解(1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件a，“该人参加过计算机培训”为事件b，由题设知，事件a与b相互独立，且p(a)0.6，p(b)0.75.所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是p( )p()p()(10.6)(10.75)0.1.该人参加过培训的概率为10.10.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数x服从二项分布xb(3,0.9)，p(xk)c0.9k0.13k，k0,1,2,3，x的分布列是x0123p0.0010.0270.2430.729对二项分布理解不准致误典例：(12分)一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.(1)设x为这名学生在途中遇到红灯的次数，求x的分布列；(2)设y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求y的分布列易错分析由于这名学生在各个交通岗遇到红灯的事件相互独立，可以利用二项分布解决，二项分布模型的建立是易错点；另外，对“首次停车前经过的路口数y”理解不当，将“没有遇上红灯的概率也当成”规范解答解(1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，故xb.2分所以x的分布列为p(xk)ck6k，k0,1,2,3,4,5,6.5分(2)由于y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然y是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中：yk(k0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算7分p(yk)()k(k0,1,2,3,4,5)，而y6表示一路没有遇上红灯故其概率为p(y6)()6，9分因此y的分布列为y0123456p()2()3()4()5()612分温馨提醒(1)二项分布是高中概率部分最重要的概率分布模型，是近几年高考非常注重的一个考点二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又在相同的条件之下重复发生(2)独立重复试验中的概率公式pn(k)cpk(1p)nk表示的是n次独立重复试验中事件a发生k次的概率，p与(1p)的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件a有k次不发生的概率了.方法与技巧1 古典概型中，a发生的条件下b发生的条件概率公式为p(b|a)，其中，在实际应用中p(b|a)是一种重要的求条件概率的方法2 相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为p(ab)p(a)p(b)互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为p(ab)p(a)p(b)3 n次独立重复试验中，事件a恰好发生k次可看做是c个互斥事件的和，其中每一个事件都可看做是k个a事件与nk个事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是pk(1p)nk.因此n次独立重复试验中事件a恰好发生k次的概率为cpk(1p)nk.失误与防范1 运用公式p(ab)p(a)p(b)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件a、b相互独立时，公式才成立2 独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件a组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 (2011辽宁)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件a“取到的2个数之和为偶数”，事件b“取到的2个数均为偶数”，则p(b|a)等于 ()a. b. c. d.答案b解析p(a)，p(ab)，p(b|a).2 (2011湖北)如图，用k、a1、a2三类不同的元件连接成一个系统当k正常工作且a1、a2至少有一个正常工作时，系统正常工作已知k、a1、a2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 ()a0.960 b0.864c0.720 d0.576答案b解析方法一由题意知k，a1，a2正常工作的概率分别为p(k)0.9，p(a1)0.8，p(a2)0.8，k，a1，a2相互独立，a1，a2至少有一个正常工作的概率为p(a2)p(a12)p(a1a2)(10.8)0.80.8(10.8)0.80.80.96.系统正常工作的概率为p(k)p(a2)p(a12)p(a1a2)0.90.960.864.方法二a1，a2至少有一个正常工作的概率为1p(1 2)1(10.8)(10.8)0.96，系统正常工作的概率为p(k)1p(1 2)0.90.960.864.3 (2011广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()a. b. c. d.答案d解析甲队若要获得冠军，有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率为，也可以乙队先胜一局，甲队再胜一局，概率为，故甲队获得冠军的概率为.4 已知随机变量x服从二项分布xb(6，)，则p(x2)等于 ()a. b. c. d.答案d解析p(x2)c()2(1)4.二、填空题(每小题5分，共15分)5 明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是_答案0.98解析10.200.1010.020.98.6 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为_答案解析设该队员每次罚球的命中率为p(其中0p1)，则依题意有1p2，p2.又0p1，因此有p.7 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是_答案0.665解析记a“甲厂产品”，b“合格产品”，则p(a)0.7，p(b|a)0.95.p(ab)p(a)p(b|a)0.70.950.665.三、解答题(共22分)8 (10分)(2011大纲全国)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率解记a表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；b表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；c表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；d表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；e表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买(1)p(a)0.5，p(b)0.3，cab，p(c)p(ab)p(a)p(b)0.8.(2)d，p(d)1p(c)10.80.2，p(e)c0.20.820.384.9 (12分)某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率解(1)p2.所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为；(2)6场胜3场的情况有c种，pc3320.所以这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为.b组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，使用寿命超过2年的概率为0.3，则使用寿命超过1年的元件还能继续使用的概率为 ()a0.3 b0.5 c0.6 d1答案b解析设事件a为“该元件的使用寿命超过1年”，b为“该元件的使用寿命超过2年”，则p(a)0.6，p(b)0.3.因为ba，所以p(ab)p(b)0.3，于是p(b|a)0.5.2 位于坐标原点的一个质点p按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点p移动五次后位于点(2,3)的概率是()a.5 bc5cc3 dcc5答案b3 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ()a. b. c. d.答案b解析设事件a：甲实习生加工的零件为一等品；事件b：乙实习生加工的零件为一等品，则p(a)，p(b)，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为p(a)p(b)p(a)p()p()p(b)(1)(1).二、填空题(每小题5分，共15分)4. 在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，则这段时间内线路正常工作的概率为_答案0.91解析线路不能正常工作的概率为p( )p()p()(10.7)(10.7)0.09.能够正常工作的概率为10.090.91.5. 将一个半径适当的小球放入如图