新课标人教A版选修1-1课件 3.4生活中的优化问题举例.ppt

3 4生活中的优化问题举例 石碣中学郑其新 2008年1月7日星期一 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为优化问题 通过前面的学习 知道 导数是求函数最大 小 值的有力工具 本节我们运用导数 解决一些生活中的优化问题 问题1 海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动 通常需要张贴海报进行宣传 现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报 要求版心面积为128cm2 上下边各空2cm 左右空1cm 如何设计海报的尺寸 才能使四周空白面积最小 解 设版心的高为xcm 则宽为 此时四周空白面积为 学校或班级举行活动 通常需要张贴海报进行宣传 现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报 要求版心面积为128cm2 上下边各空2cm 左右空1cm 如何设计海报的尺寸 才能使四周空白面积最小 解 设版心的高为xcm 则宽为 此时四周空白面积为 求导数 有 解得 x 16 x 16舍去 因此 x 16是函数s x 的极小值点 也是最小值点 所以 当版心高为16cm 宽为8cm时 能使四周空白面积最小 答 当版心高为16cm 宽为8cm时 海报四周空白面积最小 练习1 一条长为l的铁丝截成两段 分别弯成两个正方形 要使两个正方形的面积和最小 两段铁丝的长度分别是多少 则两个正方形面积和为 由问题的实际意义可知 问题2 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗 你是否注意过 市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些 你想从数学上知道它的道理吗 是不是饮料瓶越大 饮料公司的利润越大 某制造商制造并出售球形瓶装饮料 瓶子制造成本是0 8 r2分 已知每出售1ml的饮料 可获利0 2分 且瓶子的最大半径为6cm 瓶子半径多大时 能使每瓶饮料的利润最大 瓶子半径多大时 每瓶饮料的利润最小 解 由于瓶子的半径为r 所以每瓶饮料的利润为 例题 令 解 由于瓶子的半径为r 所以每瓶饮料的利润为 令 因此 当r 2时 f r 0 它表示f r 单调递增 即半径越大 利润越高 当r 2时 f r 0 它表示f r 单调递减 即半径越大 利润越低 1 半径为2时 利润最小 这时f 2 0 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本 此时利润是负值 2 半径为6时 利润最大 解 设箱底边长为x 则箱高h 60 x 2 箱子容积V x x2h 60 x2 x3 2 0 x 60 令 解得x 0 舍去 x 40 且V 40 16000 由题意可知 当x过小 接近0 或过大 接近60 时 箱子的容积很小 因此 16000是最大值 答 当x 40cm时 箱子容积最大 最大容积是16000cm3 解 设圆柱的高为h 底半径为r 则表面积S 2 rh 2 r2 由V r2h 得 则 令 解得 从而 即h 2r 由于S r 只有一个极值 所以它是最小值 答 当罐的高与底半径相等时 所用的材料最省 问题2 如何使一个圆形磁盘储存更多信息 例2磁盘的最大存储量问题 解 存储量 磁道数 每磁道的比特数 设存储区的半径介于r与R之间 由于磁道之间的宽度必须大于m 且最外面的磁道不存储任何信息 所以磁道数最多可达 R r m 由于每条磁道上的比特数相同 为了获得最大的存储量 最内一条磁道必须装满 即每条磁道上的比特数可达到 所以 磁道总存储量为 1 它是一个关于r的二次函数 从函数的解析式可以判断 不是r越小 磁盘的存储量越大 解 存储量 磁道数 每磁道的比特数 2 为求f r 的最大值 先计算 解得 如何解决优化问题 优化问题 优化问题的答案 用函数表示的数学问题 用导数解决数学问题 问题4 无盖方盒的最大容积问题 一边长为a的正方形铁片 铁片的四角截去四个边长都是x的小正方形 然后做成一个无盖方盒 x多大时 方盒的容积V最大 作业 P1144 7 问题1 汽油的使用效率何时最高 我们知道 汽油的消耗量w 单位 L 与汽车的速度v 单位 km h 之间有一定的关系 汽油的消耗量w是汽车的速度v的函数 根据生活经验 思考下列