高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题含详解及模拟题）《抛 物 线 》理 新人教A版.doc

备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)2.了解圆锥曲线的简单应用了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用3.理解数形结合的思想.1.抛物线的定义、标准方程和几何性质是高考的重点考查内容，三种题型均有可能，难度为中低档，如2012年陕西t13等2.直线与抛物线问题是高考重点考查内容，多以解答题形式考查，难度中等偏上.归纳知识整合1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点f距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上探究1.当定点f在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点f在定直线l上时，动点的轨迹是过定点f且与直线l垂直的直线2抛物线y22px(p0)上任意一点m(x0，y0)到焦点f的距离与点m的横坐标x0有何关系？若抛物线方程为x22py(p0)，结果如何？提示：由抛物线定义得|mf|x0；若抛物线方程为x22py(y0)，则|mf|y0.2抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点f到准线l的距离图形顶点o(0,0)对称轴y0x0焦点ffff离心率e1准线方程xxyy范围x0，yrx0，yry0，xry0，xr开口方向向右向左向上向下焦半径(其中p(x0，y0)|pf|x0|pf|x0|pf|y0|pf|y0自测牛刀小试1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()ay28xby24xcy28x dy24x解析：选c由抛物线准线方程为x2知p4，且开口向右，故抛物线方程为y28x.2已知d为抛物线y2px2(p0)的焦点到准线的距离，则pd等于()a.p2 bp2c. d.解析：选d抛物线方程可化为x2y，所以d，则pd.3抛物线的焦点为椭圆1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为_解析：由c2945得f(，0)，则抛物线方程为y24x.答案：y24x4若点(3,1)是抛物线y22px的一条弦的中心，且这条弦所在直线的斜率为2，则p_.解析：设弦两端点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，则两式相减得，2，y1y12，p2.答案：25若抛物线x2ay过点a，则点a到此抛物线的焦点的距离为_解析：由题意可知，点a在抛物线x2ay上，所以1a，解得a4，得x24y.由抛物线的定义可知点a到焦点的距离等于点a到准线的距离，所以点a到抛物线的焦点的距离为ya1.答案：抛物线的定义及应用例1设p是抛物线y24x上的一个动点(1)求点p到点a(1,1)的距离与点p到直线x1的距离之和的最小值；(2)若b(3,2)，求|pb|pf|的最小值自主解答(1)如图，易知抛物线的焦点为f(1,0)，准线是x1.由抛物线的定义知：点p到直线x1的距离等于点p到焦点f的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点p，使点p到点a(1,1)的距离与点p到f(1,0)的距离之和最小显然，连接af交曲线于p点，则所求的最小值为|af|，即为.(2)如图，自点b作bq垂直准线于q，交抛物线于点p1，则|p1q|p1f|.则有|pb|pf|p1b|p1q|bq|4.即|pb|pf|的最小值为4.若将本例(2)中的b点坐标改为(3,4)，求|pb|pf|的最小值解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部|pb|pf|的最小值即为b，f两点间的距离|pb|pf|bf|2. 抛物线定义中的“转化”法利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径1(1)若点p到直线y1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点p的轨迹方程是_(2)过抛物线y24x的焦点作直线l交抛物线于a，b两点，若线段ab中点的横坐标为3，则|ab|等于_解析：(1)由题意可知点p到直线y3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点p的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y3为准线的抛物线，且p6，所以其标准方程为x212y.(2)抛物线的准线方程为x1，则ab中点到准线的距离为3(1)4.由抛物线的定义得|ab|8.答案：(1)x212y(2)8抛物线的标准方程与性质例2(1)抛物线y224ax(a0)上有一点m，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为()ay28xby212xcy216x dy220x(2)设抛物线y22px(p0)的焦点为f，点a(0,2)若线段fa的中点b在抛物线上，则b到该抛物线准线的距离为_自主解答(1)由题意知，36a5，a，则抛物线方程为y28x.(2)抛物线的焦点f的坐标为，线段fa的中点b的坐标为，代入抛物线方程得12p，解得p，故点b的坐标为，故点b到该抛物线准线的距离为.答案(1)a(2)求抛物线的标准方程的方法及注意事项(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以，只需一个条件确定p值即可；(2)注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量2已知直线l过抛物线c的焦点，且与c的对称轴垂直，l与c交于a，b两点，|ab|12，p为c的准线上一点，则abp的面积为()a18 b24c36 d48解析：选c设抛物线方程为y22px，则焦点坐标为，将x代入y22px可得y2p2，|ab|12，即2p12，得p6.点p在准线上，到ab的距离为p6，所以pab的面积为61236.直线与抛物线的位置关系例3已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于a(x1，y1)，b(x2，y2)(x10)与抛物线c：y28x相交于a，b两点，f为c的焦点，若|fa|2|fb|，求k的值解：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得k2x2(4k28)x4k20，所以x1x24，x1x24.又由抛物线的定义可知|fa|x12，|fb|x22，所以x122(x22)，即x12(x21)，代入x1x24得2(x21)x24，解得x21(x22舍去)，将x21，x14代入x1x14得k2，由已知k0，所以k.4个结论直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线y22px(p0)，过其焦点的直线交抛物线于a，b两点，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有以下结论：(1)|ab|x1x2p或|ab|(为ab所在直线的倾斜角)；(2)x1x2；(3)y1y2p2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.3个注意点抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程(2)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题(3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点. 创新交汇圆锥曲线中的实际应用题1随着新课程改革的深入，一些以圆锥曲线在生活和生产中实际应用为背景的应用问题已经进入教材，并且越来越受重视，在一些考试中越来越多的体现2解决此类问题，要把实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，抓住问题实质，利用数形结合，根据这些圆锥曲线的几何性质解决问题典例(2012陕西高考)下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽_米解析以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x22py(p0)，由题意知抛物线过点(2，2)，代入方程得p1，则抛物线的方程为x22y，当水面下降1米时，为y3，代入抛物线方程得x，所以此时水面宽为2米答案21本题有以下创新点(1)命题形式的创新：以实际应用题的形式考查圆锥曲线的性质(2)命题内容的创新：本题不是直接考查抛物线的性质，而是巧设背景，以实际应用问题为载体来考查抛物线考查学生的应用意识2解决本题的关键点解题的关键是建立坐标系求出抛物线的方程3在解决以圆锥曲线为背景的创新交汇问题时，应注意以下两点(1)注意解实际应用问题的四个解题步骤，同时对有关圆锥曲线的基本知识必须要熟练掌握，以便能及时提取运用(2)注意观察实际生活中一些形状与圆锥曲线的形状接近的事物，如截面为抛物线形的拱桥、探照灯，截面为双曲线形的烟筒，斜截圆柱得椭圆形状的截面等海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里a处，如图所示现假设：失事船的移动路径可视为抛物线yx2；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.(1)当t0.5时，写出失事船所在位置p的纵坐标若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？解：(1)t0.5时，p的横坐标xp7t，代入抛物线方程yx2，得p的纵坐标yp3.由|ap|，得救援船速度的大小为海里/时(2)设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t2)由vt，整理得v2144337.因为t22，当且仅当t1时等号成立所以v21442337252，即v25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1抛物线x2(2a1)y的准线方程是y1，则实数a()a.b.c d解析：选d把抛物线方程化为x22y，则pa，故抛物线的准线方程是y，则1，解得a.2已知抛物线y24x，若过焦点f且垂直于对称轴的直线与抛物线交于a，b两点，o是坐标原点，则oab的面积是()a1 b2c4 d6解析：选b焦点坐标是(1,0)，a(1,2)，b(1，2)，|ab|4，故oab的面积s|ab|of|412.3直线yx1截抛物线y22px所得弦长为2，此抛物线方程为()ay22x by26xcy22x或y26x d以上都不对解析：选c由得x2(22p)x10.x1x22p2，x1x21.则2 .解得p1或p3，故抛物线方程为y22x或y26x.4已知点m(1,0)，直线l：x1，点b是l上的动点，过点b垂直于y轴的直线与线段bm的垂直平分线交于点p，则点p的轨迹是()a抛物线 b椭圆c双曲线的一支 d直线解析：选a由点p在bm的垂直平分线上，故|pb|pm|.又pbl，因而点p到直线l的距离等于点p到点m的距离，所以点p的轨迹是抛物线5(2013湛江模拟)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x2y22x6y90圆心的抛物线方程是()ay3x2或y3x2 by3x2cy29x或y3x2 dy3x2或y29x解析：选d圆的标准方程为(x1)2(y3)21，故圆心坐标为(1，3)，设抛物线方程为y22p1x或x22p2y，则(3)22p1或16p2，得2p19或2p2，故抛物线方程为y29x或x2y，则y29x或y3x2.6(2013衡水模拟)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点f，且和y轴交于点a，若oaf(o为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()ay24x by28xcy24x dy28x解析：选b由题可知抛物线焦点坐标为，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y2，令x0，可得a点坐标为，所以soaf4.得a8故抛物线方程为y8x.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7以抛物线x24y的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是_解析：抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x2y24.答案：x2y248(2013厦门模拟)已知动圆圆心在抛物线y24x上，且动圆恒与直线x1相切，则此动圆必过定点_解析：因为动圆的圆心在抛物线y24x上，且x1是抛物线y24x的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)答案：(1,0)9(2012安徽高考)过抛物线y24x的焦点f的直线交该抛物线于a，b两点若|af|3，则|bf|_.解析：如图，设a(x0，y0)(y00)，易知抛物线y24x的焦点为f(1,0)，抛物线的准线方程为x1，故由抛物线的定义得|af|x0(1)3，解得x02，所以y02 .故点a(2，2)则直线ab的斜率为k2 ，直线ab的方程为y2x2，联立消去y得2x25x20，由x1x21，得a，b两点横坐标之积为1，所以点b的横坐标为.再由抛物线的定义得|bf|(1).答案：三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10已知圆c过定点f，且与直线x相切，圆心c的轨迹为e，曲线e与直线l：yk(x1)(kr)相交于a，b两点(1)求曲线e的方程；(2)当oab的面积等于时，求k的值解：(1)由题意，点c到定点f和直线x的距离相等，故点c的轨迹e的方程为y2x.(2)由方程组消去x后，整理得ky2yk0.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由韦达定理有y1y2，y1y21.设直线l与x轴交于点n，则n(1,0)soabsoansobn|on|y1|on|y2|，|on|y1y2|1 .soab，所以 ，解得k.11若椭圆c1：1(0b0)的焦点在椭圆c1的上顶点(1)求抛物线c2的方程；(2)若过m(1,0)的直线l与抛物线c2交于e，f两点，又过e，f作抛物线c2的切线l1，l2，当l1l2时，求直线l的方程解：(1)已知椭圆的长半轴长为a2，半焦距c，由离心率e得，b21.则椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，所以p2，抛物线的方程为x24y.(2)由题知直线l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为yk(x1)，e(x1，y1)，f(x2，y2)，yx2，yx.切线l1，l2的斜率分别为x1，x2，当l1l2时，x1x21，即x1x24，由得x24kx4k0，则(4k)24(4k)0，解得k0.又x1x24k4，得k1.直线l的方程为yx1.12(2013珠海模拟)在平面直角坐标系xoy中，设点f，直线l：x，点p在直线l上移动，r是线段pf与y轴的交点，rqfp，pql.(1)求动点q的轨迹方程c；(2)设圆m过a(1,0)，且圆心m在曲线c上，ts是圆m在y轴上截得的弦，当m运动时，弦长|ts|是否为定值？请说明理由解：(1)依题意知，点r是线段fp的中点，且rqfp，rq是线段fp的垂直平分线|pq|是点q到直线l的距离点q在线段fp的垂直平分线