初三数学二次函数的复习 知识精讲 江苏科技版.doc

Http 凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址 南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话 025 83657815 Mail admin 初三数学二次函数的复习 知识精讲 江苏科技版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 二次函数的复习 二 教学目的 1 理解二次函数的概念及性质 会画出二次函数的图象 2 会用待定系数法求二次函数的解析式 用配方法和公式法求抛物线的顶点坐标和对称 轴 3 能利用二次函数关系式及有关性质解决比较复杂的问题 三 重点 难点 重点 理解二次函数的概念 能结合图像对实际问题中的函数关系进行分析 难点 能用函数解决实际问题 课堂教学 课堂教学 一 知识要点 知识点知识点 1 二次函数 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象 的图象 二次函数 y ax bx c a 0 的图象如图所示 2 y x1 x O b 2 4ac 0 x1 y O b 2 4ac 0 x y x x1O b 2 4ac 0 知识点知识点 2 二次函数 二次函数 y ax bx c a 0 的性质 的性质 2 一 a 的符号决定抛物线的开口方向 大小及最大值或最小值 a 0 等价于开口向上等价于最小值 最低点的纵坐标 a 0 等价于开口向下等价于最大值 最高点的纵坐标 a 越大 开口越小 a 越小 开口越大 二 a b 决定抛物线的对称轴和顶点的位置 b 0 等价于 对称轴是 y 轴 顶点在 y 轴上 a b 同号等价于对称轴在 y 轴的左侧 顶点在第二或第三象限内 a b 异号等价于对称轴在 y 轴的右侧 顶点在第一或第四象限内 三 c 的符号决定抛物线与 y 轴交点的位置 Http 凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址 南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话 025 83657815 Mail admin c 0 等价于抛物线过原点 c 0 等价于抛物线交 y 轴的正半轴 c 0 等价于抛物线交 y 轴的负半轴 四 a b c 的符号决定抛物线与 x 轴交点的位置 抛物线 y ax bx c a 0 与 x 轴交于 A x 0 B x 0 且 2 12 x x 0 12 a b c 同号等价于 A B 两点在 x 轴的负半轴上 a c 同号且与 b 异号等价于 A B 两点在 x 轴的正半轴 b c 同号且与 a 异号等价于 A B 两点在原点的两侧 五 b 4ac 的符号决定抛物线与 x 轴交点个数 2 0 等价于抛物线与 x 轴有两个交点 0 等价于抛物线与 x 轴只有一个交点 0 等价于抛物线与 x 轴没有交点 六 抛物线的特殊位置与系数的关系 顶点在 x 轴上等价于 0 顶点在 y 轴上等价于 b 0 顶点在原点 等价于 b c 0 抛物线经过原点 等价于 c 0 知识点知识点 3 二次函数关系式的形式及对称轴 顶点坐标 二次函数关系式的形式及对称轴 顶点坐标 1 一般式 y ax bx c a b c 是常数 且 a 0 其对称轴为直线 x 2 顶点坐标为 a b 2 a b 2 a bac 4 4 2 2 顶点式 y a x h k a h k 是常数 且 a 0 其对称轴为直线 2 x h 顶点坐标为 h k 3 交点式 y a x x x x 其中 a 0 x x是抛物线与 x 轴两个交 1212 点的横坐标 即一元二次方程的两个根 知识点知识点 4 抛物线的平移规律 抛物线的平移规律 基本口诀 上加下减 左加右减 具体操作如下 其中 m 0 n 0 a 0 1 将抛物线 y ax bx c 沿 y 轴向上平移 m 个单位 得 y ax bx c m 22 2 将抛物线 y ax bx c 沿 y 轴向下平移 m 个单位 得 y ax bx c m 22 3 将抛物线 y ax2 bx c 沿 x 轴向左平移 n 个单位 得 y a x n 2 b x n c 4 将抛物线 y ax2 bx c 沿 x 轴向右平移 n 个单位 得 y a x n 2 b x n c 知识点知识点 5 二次函数最值的求法 二次函数最值的求法 1 配方法 将解析式化为 y a x h k 的形式 顶点坐标为 h k 对称 2 Http 凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址 南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话 025 83657815 Mail admin 轴为 x h 当 a 0 时 y 有最小值 即当 x h 时 y k 最小值 当 a 0 时 y 有最大值 即当 x h 时 y k 最大值 2 公式法 直接利用顶点坐标公式 当 a 0 时 y 有最小值 即 x b 2a 时 y 4ac b 4a 最小值 2 当 a 0 时 y 有最大值 即 x b 2a 时 y 4ac b 4a 最大值 2 3 判别式法 结合抛物线的性质 利用根的判别式和不等式求最值 说明 二次函数实际问题求最值 一般是条件最值 应主动地求出自变量的取值范围 知识点知识点 6 二次函数与一元二次方程 一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次方程 一元二次不等式的关系 1 如图所示 当 a 0 时 抛物线 y ax bx c 开口向上 它与 x 轴有两个交点 2 x 0 x 0 x x x x 是方程 ax bx c 0 的解 x x 或 x x 是 1212 2 12 不等式 ax bx c 0 的解集 x1 x x2 是不等式 ax bx c 0 的解集 22 x x x1 x2 y O a 0 y 0 y 0 y 0 2 当 a 0 时 抛物线 y ax bx c 开口向下 它与 x 轴有两个交点 x 0 2 1 x 0 x x x x 是方程 ax bx c 0 的解 x x x 是不等式 212 2 12 ax bx c 0 的解集 x x 或 x x 是不等式 ax bx c 0 的解集 2 12 2 x1 x2 典型例题典型例题 例 选择题 1 函数 y ax2 4x a 1 的最小值是 4 则 a 的值是 A 4B 1C 1D 4 或 1 解 解 根据最小值的概念有 a acb a 0 4 4 4 2 Http 凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址 南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话 025 83657815 Mail admin 4a a 1 16 4 4a a 1 或 a 4 舍去 答案选 B 2 函数 y k2 1 x2 3k 1 x 2 的图象与 x 轴一定有两个交点 则 k 的取值范 围是 A k 1 的一切实数B k 3 的一切实数 C k 1 k 3 的一切实数D k 取一切实数 解 解 根据抛物线的图像与 x 轴一定有两个交点的定义可知 k210 0 3k 1 2 4 k2 1 2 0 k 1 k 1 k 3 答案选 C 3 双曲线 k 0 的两个分支在第二 第四象限内 则抛物线 y kx2 2x k2的 x k y 位置大致是 解 解 双曲线 k 0 的两个分支在第二 第四象限内 k 0 x k y k 0 0 k2 0 k2 2 图像的开口向下 对称轴在第二象限 图像与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴 答案选 A 4 四个二次函数的图象中 分别对应的是 y ax2 y bx2 y cx2 y dx2 则 a b c d 的大小关系为 A a b c dB a b d cC b a c dD b a d c 解 解 由于 开口向上 开口向下 Http 凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址 南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话 025 83657815 Mail admin a 0 b 0 c 0 d 0 由于 的开口比 的开口小 的开口比 的开口小 a b c d 答案选 A 例 填空题 1 若二次函数 y k 1 x2 k2 9 有最大值 且图象经过原点 则常数 k 解 解 二次函数 y k 1 x2 k2 9 有最大值 k 1 0 图象经过原点 k2 9 0 k 3 2 在距离地面 2 米高的某处把一物体抛出时间 t 秒 满足 s V0t gt2 其中 g 是 2 1 常数 通常取 10 米 秒 2 若 V0 10 米 秒 则该物体在运动过程中 最高点距离地面 米 解 解 根据顶点公式 5 a bac 4 4 2 54 100 5 4 2 所以最高点距离地面 5 米 3 将抛物线 y x2 13x 36 向右平移 个单位 能使此抛物线经过原点 解 解 抛物线 y x2 13x 36 与 x 轴有两个交点分别是 9 0 4 0 当抛物线 向右移动 4 个单位 或 9 个单位时抛物线经过原点 4 二次函数 y ax2 bx c 的图像如图所示 则 a 0 b 0 c 0 b2 4ac 0 填 Http 凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址 南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话 025 83657815 Mail admin 解 解 由于抛物线开口向上 对称轴在 y 轴的左侧 抛物线与 y 轴交在轴的正半轴 抛 物线与 x 轴有两个交点 所以 a 0 b 0 c o b2 4ac 0 说明 a b 的符号有 同左 异右 说法 5 已知 y1 x y2 x 1 2 7 1 它们的交点坐标是 2 当 时 y1 y2 当 时 y1 y2 解 解 1 由题意可知 yx yx 17 2 x y 1 1 2 2 x y 2 2 3 3 它们的交点坐标是 2 2 3 3 2 由图像可知当 3 x 2 时 y1 y2 当 x 3 或 x 2 时 y1 y2 6 如图关于 x 的二次函数 y x2 2mx m 的图象与 x 轴交于 A x1 0 B x2 0 两 点 x2 0 x1 与 y 轴交于 C 点 且 BAC BCO 则这个二次函数的解析式为 解 解 BAC BCO OBC CBA BOC BCA OB OA OC2 设 A x1 O B x2 0 有 x1 x2 m2 及 x1 x2 m2 m m2 m 1 则这个二次函数的解析式为 y x2 2x 1 例 解答题 Http 凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址 南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话 025 83657815 Mail admin 1 已知 二次函数 y x2 2x 3 1 把它变形为 y a x m 2 n 的形式 2 说明它的图像与抛物线 y x2在形状 位置上的联系与区别 3 求出图象与坐标轴的交点坐标 4 写出图象的对称轴方程及顶点坐标 5 x 在什么范围内 y 随 x 的增大而减小 6 x 在什么范围内 y 0 y 0 y 0 7 x 取什么值时 函数 y 有最大 或最小值 最大 最小 值是多少 解 解 1 y x 1 2 4 2 y x 1 2 4 与抛物线 y x2形状相同 位置不同 3 y x2 2x 3 与坐标轴的交点坐标是 1 0 3 0 0 3 4 图象的对称轴方程是 x 1 及顶点坐标为 1 4 5 当 x 1 y 随 x 的增大而减小 6 当 x 1 或 3 时 y 0 当 x 1 或 x 3 时 y 0 当 1 x 3 时 y 0 7 x 取 1 时函数 y 有最小值是 4 2 已知抛物线与 x 轴有两个交点 这两个交点的横坐标的平方和等于 13 且当 x 时 2 1 有最大值是 25 试确定此解析式 解 解 设抛物线为 y a x 2 25 抛物线与 x 轴有两个交点坐标为 h 0 2 1 2 1 h 0 2 1 h 2 h 2 13 h a 4 2 1 2 1 2 5 抛物线为 y 4 x 2 25 2 1 3 如果抛物线 y x2 2 m 1 x m 1 与 x 轴交于 A B 两点 且 A 点在 x 轴的 正半轴上 B 点在 x 轴的负半轴上 OA 的长为 a OB 的长为 b 1 求 m 的范围 2 若 a b 3 1 求 m 的值 并写出此时 抛物线的解析式 解 解 1 A a 0 B b 0 a b m 1 0 m 1 2 a 3k b k m 2 1 2 3 1 3 2 mkk mk 抛物线的解析式为 y x2 2x 3 4 某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售 对三月份至七月份该商品的售价和生 产进行调研 结果如下 一件商品售价 m 元 与时间 t 月 的关系可用一条线段上的点 来表示 一件商品的成本 Q 元 与时间 t 月 的关系可用一条抛物线上的点来表示 其 中 6 月份成本最高 它们的图象分别如图所示 Http 凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址 南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话 025 83657815 Mail admin 根据图象提供的信息解答下列问题 1 一件商品在 3 月分出售时的利润是多少元 利润 售价 成本 2 求表示一件商品的成本 Q 元与时间 t 月 之间的函数关系 3 你能求出三月份至七月份一件商品的利润 w 元 与时间 t 月 之间的函数关 系式吗 若该公司能在一个月内售出此种商品 30000 件 请你计算一下该公司在一个月内最小 获利多少元 解 解 1 6 1 5 元 2 设售价 M 与 t 的关系式为 36 68 kb kb k b 2 3 4 所以 M t 4 3 2 设成本 Q 与 t 的关系式为 Q a t 6 2 4 a 3 6 2 4 1 a 3 1 Q t 6 2 4 3 1 3 W M Q t 4 t 6 2 4 t 5 2 其中 3 2 3 1 3 1 3 11 t 3 4 5 6 7 最小利润为 110000 元 模拟试题模拟试题 答题时间 30 分钟 1 函数 y m 2 为二次函数 且图象开口向上 则 m 的取值范围为 3 2 m x A m 或 B m 555 C m D m 55 2 二次函数 y x 1 2 2 的顶点坐标和对称轴分别是 A 顶点 1 2 对称轴 x 1B 顶点 1 2 对称轴 x 1 C 顶点 1 2 对称轴 x 1D 顶点 1 2 对称轴 x 1 3 抛物线 y x2 3x 2 不经过 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 Http 凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址 南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话 025 83657815 Mail admin 4 若二次三项式 x2 x m 在实数范围内不能分解因式 则抛物线 y x2 x m 的 顶点在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 5 若抛物线 y x2 2mx 2m 1 的顶点在第三象限 则常数的 m 的取值范围是 A m 0B m 0C m 0 且 m 1D m 2 1 6 若二次函数 y ax2 bx c 的图像经过原点和第二 三 四象限 则 a b c 满足的 条件是 A B C D a b c 0 0 0 a b c 0 0 0 a b c 0 0 0 a b c 0 0 0 7 用配方法将函数 y x2 2x 1 写成 y a x h k 的形式是 2 1 2 A y x 2 2 1B y x 1 2 1 2 1 2 1 C y x 2 2 3D y x 1 2 3 2 1 2 1 8 抛物线 y ax2的顶点是 对称轴是 当 a 0 时 抛物线开口向 顶点是最 点 在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而 在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而 当 a 0 时 抛物线开口向 顶点是最 点 在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而 在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而 9 抛物线 y 2x2 3x 5 的顶点坐标为 对称轴是 当 x 时 y 取最 值 其值为 与 x 轴交点坐标为 与 y 轴交点坐 标为 10 已知抛物线 y x2 m 4 x 4m 当 m 时 顶点在 y 轴上 当 m 时 顶点在 x 轴上 11 二次项系数为 1 且图象与 x 轴交于 2 0 和 1 0 该二次函数的表达式为 12 有一座抛物线形拱桥 正常水位时桥下水面宽为 20m 拱顶距水面 4m 1 在如图 所示的坐标系中求出该抛物线的解析式 2 为了让过往船只顺利航行 桥下水面宽度不 得小于 18m 求水面在正常水位基础上上涨多少米 就会影响过往船只 Http 凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址 南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话 025 8