初中几何中三角形中位线定理的应用.doc

初中几何中三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好本节内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习。它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系。就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论2（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系。我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用。一、证明问题1、证明角相等关系例1、已知：如图在四边形ABCD中对角线AC=BD，E、F分别为AB、CD中点，点O为AC，BD的交点，M、N为EF与BD，AC的交点。求证：OM=ON分析：证明OM=ON 可转化成证明OMN=ONM，由于E、F为AB、CD的中点这时只要取AD中点H作出ABD与ACD的中位线，即可得到EH=BD ,HF=AC,因为AC=BD,从而得到EH=HF所以HEF=HFE,因为 EH/BD, FH/AC所以HEF=OMN, HFE=ANM从而得到DMF=ANM这样要求证问题就解决了。证明：取AD中点H并分别连结EH、HF，即EF与FH分别为ABD 与DAC的中位线。EH=BD，EH/BD，HF=AC ，FH/AC (三角形中位线定理)而 AC=BD，EH=HF，HEF=HFE 又EH/BD ，HF/AC，HEF=DMF，HFE=ANMDMF=ANM，OM=ON例2、如图、四边ABCD中，AB=CD，M、N分别为AD、BC的中点，EFMN交AB于E，交CD于F，求证：AEF=DFE分析：欲证：AEF=DFE。由MNEF想到延长BA，CD与MN的延长线交于P、Q只需证明EPN=Q，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD，取BD的中点G，则有 ，由于AB=CD，进而有GM=GN，GMN=GNM然后再转化EPN=Q ，从而证出结论。证明：延长BA，CD分别与NM的延长线交于P、Q连结BD，取BD的中点G，连结GM、GN。G、M分别为ABD的边BD、AD的中点。同理可证：，又AB=CD，GM=GN，GMN=GNM，GM/AB，GN=CD，GMN=EPN，GNM=Q，EPN=Q ，又 EFMN，AEF=DFE（等角的余角相等）图表 1说明：添辅助线是证明几何题的难点。尤其像例2、要添多条辅助线，更为困难，掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是分析中自由添加辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何的证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结。 2、证明线段的倍分以及相等关系例1、 如图，已知平行四边形ABCD中，BD为对角线，点E、F分别是AB、CD的中点，连线EF，交BD于M点。求证：（1）BM=BD （2）ME=MF分析：欲证问题（1）由E、F分别为AB、BC中点想到连结AC，由平行线等分线段定理可证得BM=MO。又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO=OD，即BM=BD。欲证问题(2)，由问题(1)中的辅助线，即连结AC，由三角形中位线定理可得EM=，MF=，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论。证明：（1）连结AC，交BD于O点，E、F分别为AB、BC中点，EFAC， BM=MO=（平行线等分线段定理）又四边形ABCD是平行四边形 BO=OD=，AO=OC=，BM=，即BM=（2）M是BO的中点，E、F分别是AB、BC中的中点，又AOOC，MEMF小结：问题（1）看起来似乎与三角形中位线定理无关，其实这是从侧面的运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系。例2、 巳知：如图，在ABC中ABAC， 延长AB到D，使BDAB，E为AB的中点，求证：CD2CE分析：这是证明线段的倍半问题，证明一条线段等于另一条线段的二倍或一半时，常常是先找出短线段的二倍，或者取长线段的一半，设法把线段的倍半问题转化为证明线段的相等问题，这就是通常所说的“加倍”、“折半”的方法，下面我们就把问题转化成证明线段的相等。方法：1、找出CD的一半，然后证明CD的一半和CE相等，此重取CD中点F，证CFCE证明：取CD的中点F连结BF， CD2CF，ABBD，BF是ADC的一条中位线，BFAC，2=ACB ， AB=AC, 1=ACB，1=2，E是AB中点，且AB=AC，BE=BF，在BCE和BCF中，BCEBCF(SAS)，CE=CF，CD=CF，CD=2CF，CD=2CE 方法：2、找出CE的2倍，然后证明CE的2倍和CD相等，因此，要延长CE到使EF=CE，证CF=CD证明：延长CE至F使EF=CE，连结FBCF=2CE , 1=2，E为AB中点，AE=BE，在AEC和BEF中，AECBEF(SAS)，AC=BF，3=F，ACBF，FBC+ACB=1800，CBD+ABC=1800，又AB=AC，ABC=ACB，FBC=DBC，AC=AB， AB=BC ，AC=BF，BF=BD。在CBFCBD中，CBFCBD(SAS)，CD=CF，CF=2CE，CD=2CE小结：证明线段相等的方法很多，要学会根据条件来选择合适的方法。 3、证明线段平行关系例1、 如图，自ABC的顶点A，向B和C的平分线作垂线，重足分别为D、E。求证：DEBC分析：欲证ED/BC我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD、AE，交BC与CB的延长线于G与H，通过证明ABD与GBD全等易证D是AG中点，同理E为AH的中点，故，ED是AEG的中位线，当然有DEBC。证明：延长AD、AE交BC、CB的延长线于G、H，BD平分ABC，1=2，又BDAD，ADB=BDG=900在ABD与GBD中，ABDGBD(ASA)AD=DG，同理可证，AE=GE，D，E分别为AG，AH的中点，EDBC小结：由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等，还可以用中位线定理来证明直线或线段平行。二、比较大小1、比较线段大小图表 2例1、 如图，M、N是四边形ABCD的边 BC、AD的中点，且AB与CD不平行。求证：MN(ABCD)分析：欲证MN(ABCD)，我们从表面上看这个问题比较复杂，但由M、N分别为BC、AD中点我们可以联想到如何构造三角形中位线来证明问题，通过连结BD，并取BD中点P，连结NP、MP这时分别为DAB、DCB的中位线,这时三条线段NP、MP、MN都在一个三角形里，问题就迎刃而解了。证明：连结BD并取BD中点P，连结NP，MPN为AD中点，P为BD中点NP为DAB的中位线，NPAB，同理可得MPCD。AB与CD不平行，P点不在MN上。在PMN中，由于两边之和大于第三边，MNPM+PN(AB+CD) 小结：此类题型通过转化,把有关的线段或与之有联系的线段集中在一个三角形中,再应用三角形的有关知识，如：三角形中位线及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等知识，即可得出证明。2、比较角的大小例1、如图：AD是ABC的中线，如果ABAC，那么BADAC, 有ABAC，所以就有32，即BADAC，ABAC，即在AED中，DEAE，32，12，即BADCAD小结：本题证角不相等，因为要证的两个角不在同一个三角形中，如果这两个角在同一个三角形中能应用：在同一个三角形中，大边对大角原理这时就考虑到如何将这两个角放在一个三角形中，通过观察只要过D作DEAB就可解决求证问题。三、求值问题例1， 如图所示，在梯形ABCD中， ADBC，AD+DC=8，且AD：BC=3:7,E , F分别是BD，AC的中点，求EF的长。分析：欲求EF的长，关键是如何建构三角形，使EF成为这个三角形的中位线，所以，本题的突破口在于添作辅助线DH，这也是解题中常用的方法。解：AD+BC=8，AD：BC=37 得 AD=2.4 BC=5.6连结DF，并延长交BC于H，在ADF与CHF中，ADFCHF(SAS)CH=AD，DF=FH，EF=BH(BCAD)1.6例2、 如图，正方形ABCD两对角线相交于点E，CAB的平分线交BE于G，交BC于F，若GE24求FC的长。分析：求FC的长，因为E为对角线交点，就是AC中点所以作辅助线PEBC就有PEFC且有PE=FC所以只要能求出PE的长即可，而PE的长可由34求出，因为3为APE的外角所以有3=2+5同理有4=1+7因为AF为BAC的平分线所以1=2又因为所以5=6,而6=7所以有3=4即PE=GE=FC,这样问题就解决了。解：过点E，作EPBC，交AF于点P，则P为AF中点，32526，417，又AF平分BAC，12，又67，34，EPEG，PE是AFC的中位线，PEFC=EG，即FC=2EG=2PE=224=48小结：求值问题，主要是如何添加辅助线，将比较难的问题转为容易的问题。总之，三角形中位线定理的应用，这部分知识在初二几何第四章四边形中占有很重要的地位，它对梯形中位线、平行等分线段定理与第五章相似形的学习中起到辅助的作用，所以学好