【最高考】高考数学二轮专题突破高效精练 第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题).doc

第13讲圆锥曲线(含轨迹问题)1. 抛物线x4y2的准线方程是_答案：x解析：将抛物线写成标准形式y2x再计算2. 若椭圆1的离心率e，则m的值是_答案：3或解析：当m5时，解得m；当m5时，解得m3.所以，m3或m.3. 以双曲线1的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为_答案：(x5)2y216解析：双曲线右焦点为f (c，0)，又a3，b4，所以c5，所以f(5，0)，双曲线渐近线方程为yx，因而圆心到渐近线距离d4.所以圆的方程为(x5)2y216.4. 已知双曲线过点(2，1)且其中一条渐近线方程为xy0，则该双曲线的焦点坐标为_答案：(，0)，(，0)解析：设双曲线方程为x2y2(0)，代入点(2，1)，解得双曲线的标准方程是1，因此焦点坐标是(，0)，(，0)5. abc中，a(2，0)，b(2，0)，且ac、ab、bc成等差数列，则点c的轨迹方程是_. 答案：1(y0)解析：由题可得acbc84，由椭圆的定义，点c的轨迹是以a、b为焦点的椭圆(除去与x轴的交点)6. 已知p是椭圆1上的动点，f1、f2是椭圆的两个焦点，则的取值范围是_答案：4，4解析：已知f1(2，0)，f2(2，0)，设p(x，y)，p在椭圆上，因此x2y28123y2y282y24，结合2y2，可求出范围7. 双曲线1(ab0)右支上一点p到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的范围为_答案：(1，23，6)解析：设p到右准线距离为d，则有e，又由题设知pf16dpf2，由双曲线的定义知pf1pf22a，从而有pf2pf22a，即有pf2(1)2a，即pf2ca，两边同除a，整理化简可得0，即0，即1e2或3e0知p不符，故所求抛物线方程为y23x.10. 已知椭圆t：1，a、b为椭圆t的左、右两个顶点，p为椭圆上异于a、b的任意一点，直线pa、pb交直线x6于m、n两点，则线段mn的最小值为_答案：4解析：由对称性知，不妨设p(x0，y0)在y轴上方，y00，则ap的方程为y(x2)，令x6，得y1，bp的方程为y(x2)，令x6得y2，从而mny1y24y0.由(x0，y0)在t上，知y0，即mn22，令6x0m0，则mn22，易知3212()1最大值为1，从而mn最小值为224.11. 如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆1(ab0)的离心率为，过椭圆右焦点f作两条互相垂直的弦ab与cd.(1) 当直线ab斜率为0时，abcd7，求椭圆的方程；(2) 求abcd的取值范围解：(1) 由题意知，e，cd72a，所以a24c2，b23c2，故d(c，)，因为点在椭圆上，即1，所以c1.所以椭圆的方程为1.(2) 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知abcd7； 当两弦斜率均存在且不为0时，设a(x1，y1)、b(x2，y2)，且设直线ab的方程为yk(x1)，则直线cd的方程为y(x1)将直线ab的方程代入椭圆方程中，并整理得(34k2)x28k2x4k2120，所以x1，x2，所以ab|x1x2|.同理，cd.所以abcd.令tk21，则t1，34k24t1，3k243t1，设f(t)12，因为t1，所以(0，1)，所以f(t)，所以abcd.综合与可知，abcd的取值范围是.12. 已知椭圆c：1(ab0)过点p(1，1)，c为椭圆的半焦距，且cb.过点p作两条互相垂直的直线l1、l2与椭圆c分别交于另两点m、n.(1) 求椭圆c的方程；(2) 若直线l1的斜率为1，求pmn的面积；(3) 若线段mn的中点在x轴上，求直线mn的方程解：(1) 由条件得1，且c22b2，所以a23b2，解得b2，a24.所以椭圆方程为1.(2) 设l1方程为y1k(x1)，联立消去y得(13k2)x26k(k1)x3(k1)240.因为p为(1，1)，解得m.当k0时，用代替k，得n.将k1代入，得m(2，0)，n(1，1)因为p(1，1)，所以pm，pn2，所以pmn的面积为22.(3) (解法1)设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则两式相减，得(x1x2)(x1x2)3(y1y2)(y1y2)0.因为线段mn的中点在x轴上，所以y1y20，从而可得(x1x2)(x1x2)0.若x1x20，则n(x1，y1)因为pmpn，所以0，得xy2.因为x3y4，所以解得x11，所以m(1，1)，n(1，1)或m(1，1)，n(1, 1)所以直线mn的方程为yx.若x1x20，则n(x1，y1)，因为pmpn，所以0，得y(x11)21.因为x3y4，所以解得x1或1，经检验x满足条件，x1不满足条件综上，直线mn的方程为xy0或x.(解法2)由(2)知，当k0时，因为线段mn的中点在x轴上，所以，化简得4k(k24k1)0，解得k2.若k2，则m，n，此时直线mn的方程为x.若k2，则m，n，此时直线mn的方程为x.当k0时，m(1，1)，n(1，1)，满足题意，此时直线mn的方程为xy0.综上，直线mn的方程为x或xy0.13. 在平面直角坐标系xoy中，椭圆c：1(ab0)过点a和点b(，1)(1) 求椭圆c的方程；(2) 已知点p(x0，y0)在椭圆c上，f为椭圆的左焦点，直线l的方程为x0x3y0y60. 求证：直线l与椭圆c有唯一的公共点； 若点f关于直线l的对称点为q，求证：当点p在椭圆c上运动时，直线pq恒过定点，并求出此定点的坐标(1) 解：由题意，得解得所以所求椭圆c的方程为1.(2) 证明： 联立方程组消去y，得(x3y)x212x0x3618y0.(*)由于点p(x0，y0)在椭圆c上，所以1，即3y6x.故(*)可化为x22x0xx0.因为(2x0)24x0，所以原方程组仅有一组解，显然xx0，yy0是方程组的解，所以直线l与椭圆c有唯一的公共点 点f的坐标为(2，0)，过点f且与直线l垂直的直线的方程为3y0xx0y6y00.解方程组得因为点p(x0，y0)在椭圆1上，所以3y6x，所以解为所以点f(2，0)关于直线l的对称点的坐标为q.当x02时，kpq.所以直线pq的方程为yy0(xx0)，即(x2)y0yx02y0.所以即直线pq过定点m(2，0)当x02时，y0，此时q的坐标为(2，2)，直线pq过点m(2，0)综上，直线pq恒过定点m(2，0)滚动练习(四)1. 若全集ur，集合ax|x10，bx|x3，cos()，coscos().12. 已知等比数列an的首项为，公比为，其前n项和为sn，若asnb对nn*恒成立，则ba的最小值为_答案：解析：由等比数列前n项和公式得sn1， tnsn1.当n为奇数时，tn1递减，则0tnt1；当n为偶数时，tn1递增，则t20.故tn， amax，bmin，故(ba)minbminamax.13. 求关于x的方程ax22x10(ar)至少有一个负实根的充要条件解：当a0时，适合；当a0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a0；若方程有两个负实根，则解得0a1.综上，方程至少有一个负实根，则a1.反之，若a1，则方程至少有一个负实根因此，关于x的方程ax22x10至少有一个负实根的充要条件是a1.14. 在abc中，已知角a、b、c所对的边分别是a、b、c，且.(1) 求b；(2) 若tan7，求cosc的值解：(1) 因为，由正弦定理，得，所以sinbcoscsinccosb2sinacosb，即sin(bc)2sinacosb.因为bca，所以sina2sinacosb.因为a(0，)，故sina0，因此cosb.又b(0，)，所以b.(2) 因为tan7，所以7，解得tana.因为0ab0)的左、右焦点分别是f1、f2，m、n是椭圆右准线上的两动点，且0.(1) 判定原点o与以mn为直径的圆的位置关系； (2) 设椭圆离心率为，mn的最小值是2，求椭圆方程解：(1) 设椭圆1的焦距为2c(c0)，则其右准线方程为x，且f1(c, 0), f2(c, 0)设m，n，则，. 0， y1y20，即y1y2c2.于是y1y2c20，故mon为锐角 原点o在以mn为直径的圆的外部(2) 椭圆的离心率为， a2c，于是m(4c，y1)，n(4c，y2)，且y1y2c215c2.mn2(y1y2)2yy2y1y2|y1|2|y2|22|y1y2|4|y1y2|60c2.当且仅当y1y2c或y2y1c时取“”号， (mn)min2c2，于是c1, 从而a2，b，故所求的椭圆方程是1.16. 已知a、b为常数，a0，函数f(x)ex.(1) 若a2，b1，求f(x)在(0，)内的极值；(2) 若a0，b0，求证：f(x)在区间1，2上是增函数； 若f(2)0，f(2)e2，且f(x)在区间1，2上是增函数，求由所有点(a，b)形成的平面区域的面积. (1) 解：f(x)ex(ax2bxb).当a2，b1时，f(x)(2x2x1)(x1)(2x1)，令f(x)0，得x或x1(舍去) 0，当x时，f(x)0，f(x)是减函数，当x时，f(x)0，f(x)是增函数， 当x时，f(x)取得极小值为4.(2) 令g(x)ax2bxb， 证明： a0，b0， 二次函数g(x)的图象开口向上，对称轴x0，且g(1)a0， g(x)0对一切x1，2恒成立又0， f(x)0对一切x1，2恒成立 f(x)函数图象是不间断的，