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文档简介

3 4二维随机变量函数的分布 上一章已经讨论过一维随机变量函数的分布 同样 我们可以讨论二维随机变量函数的分布 一 问题的提法设是n维随机变量 其联合分布已知 是n元实连续函数 则的分布称为函数的分布 需要注意的是 n维随机变量函数形成的随机变量仍然是一维随机变量 这里我们主要讨论二维随机变量函数的分布问题 解决这类问题的关键是掌握其基本思想方法 二 二维随机变量函数的分布 离散型随机变量函数的分布若X与Y相互独立 且 则 这种性质称为可加性 因此泊松分布具有可加性 类似地 二项分布也具有可加性 若相互独立 则 2 连续型随机变量函数的分布设为联合概率密度函数 当是连续函数时 则的概率密度函数可如下获取 第一步 求出 对任意 第二步 根据上式 利用分布函数与概率密度的关系 或对求导 即可得到 上述做法就是求二维随机变量函数分布的一般方法 应充分理解和熟练掌握 下面讨论几个具体的随机变量函数的分布 设是二维连续型随机变量 是其联合概率密度函数 图3 6Dz 1 和的分布求的概率密度函数 对于任意的实数Z 根据定义 由 3 11 有 对固定的z和y 先作变换由连续型随机变量概率密度函数的定义可得 3 27 同理 3 28 特别当与相互独立时 于是 3 29 3 30 定理3 5若X与Y相互独立 且 则 3 31 更进一步 还有推论1若 相互独立且 i 1 2 n 则 3 32 由于正态随机变量的线性函数是正态随机变量 因而我们还有 推论2相互独立的正态随机变量的线性组合仍然是正态随机变量 2 商的分布求 Y 0 的概率密度函数 对于任意的实数z 根据定义2 8 由 3 11 有 对固定的y和z 先作变换 则有 所以 3 33 若X与Y相互独立 则 3 34 类似可以求得的概率密度函数为 请读者自己证明 3 随机变量最大值和最小值的分布设的联合分布函数为 与的边缘分布函数分别为 若X与Y相互独立 求及的分布函数 由于等价于且 因此 对于任意的实数z 即 3 35 类似地 由 z等价于且可得 即 3 36 更一般地 设 相互独立
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