概率论与数理统计 张天德版 第2章 课件 例题.ppt

第二章随机变量及其分布 4连续型随机变量及其概率密度 则称X为连续型随机变量 称f x 为X的概率密度函数 简称为概率密度 有 连续型随机变量的分布函数在上连续 定义 一 连续型随机变量的概念 分布函数与密度函数几何意义 1o 2o 这两条性质是判定一个函数f x 是否为某r v X的概率密度函数的充要条件 对于任意实数x1 x2 x1 x2 连续型随机变量X由其密度函数唯一确定 利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率 故X的密度f x 在x这一点的值 恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限 这里 如果把概率理解为质量 f x 相当于线密度 表示r v X取值于的概率近似等于 连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似 但是 密度函数不是概率 注意 即密度函数f x 在某点处a的高度 并不反映X取值的概率 但是 这个高度越大 则X取a附近的值的概率就越大 也可以说 在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度 连续型r v取任一指定实数值a的概率均为0 即 这是因为 连续型随机变量的一个重要特点 当时 得到 由此得 1 对连续型r vX 有 2 由P X a 0可推知 而 X a 并非不可能事件 可见 由P A 0 不能推出 并非必然事件 由P B 1 不能推出B 例1 解 1 由得 故 X的概率函数为 2 由得 3 当然 还可以用概率密度求概率 例3已知某型号电子管的使用寿命X为连续r v 其密度函数为 1 求常数c 3 已知一设备装有3个这样的电子管 每个电子管能否正常工作相互独立 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率 2 计算 解 1 令 c 1000 2 一个电子管使用1500小时后只有两个结果 A 坏掉 表示一个电子管的寿命小于1500小时 和其对立事件 设在使用的最初1500小时三个电子管中损坏的个数为Y 3 3个这样的电子管 每个电子管能否正常工作相互独立 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率 设X的分布函数F x 连续 除去有限或可列个点外有连续的导数 则 是X的密度函数 5 例4 故有 解 1 因为X是连续型随机变量 1 均匀分布 三常见的连续性随机变量的分布 若X的概率密度为 则称X服从区间 a b 上的均匀分布或称 X服从参数为a b的均匀分布 记作 1 2 X X a b x l l 0 即 在区间 a b 上服从均匀分布的随机变量X 落在区间 a b 中任意等长度的子区间内的可能性是相同的 均匀分布的意义 说明 1 类似地 我们可以定义区间 还可以将密度写成 2 采用的示性函数 上的均匀分布 X的分布函数为 例1某公共汽车站从上午7时起 每15分钟来一班车 即7 00 7 15 7 30 7 45等时刻有汽车到达此站 如果乘客到达此站时间X是7 00到7 30之间的均匀随机变量 试求他候车时间少于5分钟的概率 解 依题意 X U 0 30 以7 00为起点0 以分为单位 从上午7时起 每15分钟来一班车 即7 00 7 15 7 30等时刻有汽车到达汽车站 为使候车时间X少于5分钟 乘客必须在7 00 7 10到7 15之间 或在7 25到7 30之间到达车站 所求概率为 即乘客候车时间少于5分钟的概率是1 3 从上午7时起 每15分钟来一班车 即7 00 7 15 7 30等时刻有汽车到达汽车站 例2设随机变量X U 1 6 求一元两次方程t2 Xt 1 0有实根的概率 解当 X2 4 0时 方程有实根 所求概率为 而X的密度函数为 另解 2 指数分布 其中 0为常数 则称X服从参数为 的指数分布 若连续型随机变量X的概率密度为 指数分布的另一种等价定义 其中 0为常数 则称X服从参数为 的指数分布 若连续型随机变量X的概率密度为 X的分布函数为 应用场合 用指数分布描述的实例有 随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间 无线电元件的寿命 动物的寿命 指数分布常作为各种 寿命 分布的近似 例1 令 B 等待时间为10 20分钟 例2 电子元件的寿命X 年 服从参数为的指数分布 1 求该电子元件寿命超过2年的概率 2 已知该电子元件已使用了1 5年 求它还能使用2年的概率为多少 解 指数分布的应用 指数分布具有 无记忆性 所以 又把指数分布称为 永远年轻 的分布 对任意s t 0 有 无记忆性 若X服从参数为 的指数分布 则 指数分布常作为各种 寿命 分布的近似 证明 3 正态分布 若X的概率密度为 则称X服从参数为 2的正态分布 记作X N 2 为常数 亦称高斯 Gauss 分布 正态概率密度函数的几何特征 f x f x 曲线y f x 以x轴为渐近线 位置参数 形状参数 正态分布的分布函数 可用正态变量描述的实例极多 各种测量的误差 人体的生理特征 工厂产品的尺寸 农作物的收获量 海洋波浪的高度 金属线抗拉强度 热噪声电流强度 学生的考试成绩 标准正态分布的概率密度表示为 标准正态分布 标准正态分布的分布函数表示为 其值有专门的表供查 标准正态分布的图形 重要性质 证明 证明 进一步可得X的分布函数 正态分布的计算 例1设X N 1 4 求P 0 X 1 6 解 求P X 0 解一 解二图解法 0 2 由图 例33 原理 设X N 2 求 解 一次试验中 X落入区间 3 3 的概率为0 9974 而超出此区间可能性很小 在工程应用中 通常认为P X 3 1 忽略 X 3 的值 如在质量控制中 常用标准指标值 3 作两条线 当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报 表明生产出现异常 标准正态分布的上 分位数z 设X N 0 1 0 1 称满足 的点z 为X的上 分位数 z 常用数据 例4设测量的误差X N 7 5 100 单位 米 问要进行多少次独立测量 才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0 9 解 故至少要进行4次独立测量才能满足要求 设需要进行n次独立测量 每次测量有两个结果 A 误差绝对值不超过10米 和 Y表示A出现的次数 则Y b n p 求 4 分布 说明 说明 注非离散非连续的随机变量存在性 可验证F x 是分布函数但即非离散 不是阶梯形 又非连续 F x 不连续 不能表示