高中数学第二章圆锥曲线与方程1_2椭圆的简单性质二课件北师大版选修1_1

1 2椭圆的简单性质 二 第二章 1椭圆 学习目标1 进一步巩固椭圆的简单几何性质 2 掌握直线与椭圆位置关系等相关知识 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一点与椭圆的位置关系 答案 思考2 答案 知识点二直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系 有三种位置关系 分别有相交 相切 相离 答案 思考2 答案 知识点三直线与椭圆的相交弦 思考 若直线与椭圆相交 如何求相交弦弦长 有两种方法 一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标 利用两点间距离公式可求得 另一种方法是利用弦长公式可求得 答案 梳理 注 直线与椭圆的交点A x1 y1 B x2 y2 k为直线的斜率 其中 x1 x2 x1x2或y1 y2 y1y2的值 可通过由直线方程与椭圆方程联立 消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到 题型探究 类型一直线与椭圆的位置关系 命题角度1直线与椭圆位置关系的判断例1直线y kx k 1与椭圆 1的位置关系是A 相交B 相切C 相离D 不确定 答案 解析 直线y kx k 1 k x 1 1过定点 1 1 且该点在椭圆内部 因此必与椭圆相交 直线与椭圆的位置关系判断方法 代数法 联立直线与椭圆的方程 消元得到一元二次方程 1 0 直线与椭圆相交 有两个公共点 2 0 直线与椭圆相切 有且只有一个公共点 3 0 直线与椭圆相离 无公共点 反思与感悟 解答 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 命题角度2距离的最值问题例2在椭圆 1上求一点P 使它到直线l 3x 2y 16 0的距离最短 并求出最短距离 解答 并整理得4x2 3mx m2 7 0 9m2 16 m2 7 0 m2 16 m 4 此类问题可用数形结合思想寻找解题思路 简化运算过程 也可以设出所求点的坐标 利用点到直线的距离公式求出最小距离 反思与感悟 跟踪训练2已知椭圆x2 8y2 8 在椭圆上求一点P 使点P到直线l x y 4 0的距离最短 并求出最短距离 解答 设与直线x y 4 0平行且与椭圆相切的直线为x y a 0 4a2 36 a2 8 0 解得a 3或a 3 与直线l距离较近的切线方程为x y 3 0 类型二弦长及中点弦问题 解答 则x1 x2 0 x1x2 18 解答 2 当P点恰好为线段AB的中点时 求l的方程 方法一当直线l的斜率不存在时 不合题意 所以直线l的斜率存在 设l的斜率为k 则其方程为y 2 k x 4 消去y得 1 4k2 x2 32k2 16k x 64k2 64k 20 0 由于AB的中点恰好为P 4 2 即x 2y 8 0 由于P 4 2 是AB的中点 x1 x2 8 y1 y2 4 即x 2y 8 0 处理直线与椭圆相交的关系问题的通用方法是通过解直线与椭圆构成的方程 利用根与系数的关系或中点坐标公式解决 涉及弦的中点 还可使用点差法 设出弦的两端点坐标 代入椭圆方程 两式相减即得弦的中点与斜率的关系 反思与感悟 解答 方法一设A x1 y1 B x2 y2 代入椭圆方程并作差 得a x1 x2 x1 x2 b y1 y2 y1 y2 0 直线x y 1 0的斜率k 1 x2 x1 2 联立ax2 by2 1与x y 1 0 可得 a b x2 2bx b 1 0 4 x2 x1 2 x1 x2 2 4x1x2 得 a b x2 2bx b 1 0 且直线AB的斜率k 1 类型三椭圆中的最值 或范围 问题 例4已知椭圆4x2 y2 1及直线y x m 1 当直线和椭圆有公共点时 求实数m的取值范围 解答 2 求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程 解答 设直线与椭圆交于A x1 y1 B x2 y2 两点 由 1 知5x2 2mx m2 1 0 所以当m 0时 AB 最大 此时直线方程为y x 引申探究在例4中 设直线与椭圆相交于A x1 y1 B x2 y2 两点 求 AOB面积的最大值及 AOB面积最大时的直线方程 解答 解析几何中的综合性问题很多 而且可与很多知识联系在一起出题 例如不等式 三角函数 平面向量以及函数的最值问题等 解决这类问题需要正确地应用转化思想 函数与方程思想和数形结合思想 其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式 这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件 反思与感悟 解答 1 求椭圆的方程 2 已知直线l与椭圆交于A B两点 且直线l的方程为y kx k 0 若O为坐标原点 求 OAB的面积的最大值 解答 k 0 当堂训练 2 3 4 5 1 答案 A 6B 8C 10D 16 A 1B 2C 3D 4 答案 解析 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 答案 解析 0 m 1或m0且m 3 m 1且m 3 2 3 4 5 1 x 2y 3 0 答案 解析 设A x1 y1 B x2 y2 AB所在的直线方程为x 2y 3 0 2 3 4 5 1 解答 设直线l与椭圆的交点为M x1 y1 N x2 y2 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 化简得k4 k2 2 0 所以k2 1 所以k 1 所以所求直线l的方程是x y 1 0或x y 1 0 规律与方法 解决直线与椭圆的位置关系问题 经常利用设而不求的方法 解题步骤为 1 设直线与