高中数学 第四章 函数应用章末复习课课件 北师大版必修1

章末复习课 第四章函数应用 学习目标1 体会函数与方程之间的联系 会用二分法求方程的近似解 2 了解指数函数 幂函数 对数函数的增长差异 3 巩固建立函数模型的过程和方法 了解函数模型的广泛应用 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 1 对于函数y f x x D 使f x 0的实数x叫作函数y f x x D的零点 2 方程的根与函数的零点的关系 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图像与x轴有交点 函数y f x 有零点 3 函数的零点的存在性定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图像是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 1 函数y f x 在区间 a b 内若不连续 则f a f b 0与函数y f x 在区间 a b 内的零点个数没有关系 即 零点存在性定理仅对连续函数适用 2 连续函数y f x 若满足f a f b 0 则在区间 a b 内至少有一个零点 反过来函数y f x 在区间 a b 内的零点不一定有f a f b 0 若y f x 为单调函数 则一定有f a f b 0 4 二分法只能求出连续函数变号零点 另外应注意初始区间的选择 依据给出的精确度 计算时及时检验 5 解决函数应用题关键在于理解题意 提高阅读能力 一方面要加强对常见函数模型的理解 弄清其产生的实际背景 把数学问题生活化 另一方面 要不断拓宽知识面 求解函数应用问题的思路和方法 我们可以用示意图表示为 题型探究 例1已知函数f x x 2x g x x lnx h x x 1的零点分别为x1 x2 x3 则x1 x2 x3的大小关系是 类型一函数的零点与方程的根的关系及应用 答案 解析 x1 x2 x3 解析令x 2x 0 得2x x 令x lnx 0 得lnx x 在同一坐标系内画出y 2x y lnx y x的图像 如图可知x1 0 x2 1 1 函数的零点与方程的根的关系 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图像与x轴有交点 函数y f x 有零点 2 确定函数零点的个数有两个基本方法 利用图像研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数进行判断 反思与感悟 跟踪训练1若函数f x 2x a的一个零点在区间 1 2 内 则实数a的取值范围是A 1 3 B 1 2 C 0 3 D 0 2 解析显然f x 在 0 上是增函数 由条件可知f 1 f 2 0 即 2 2 a 4 1 a 0 即a a 3 0 解得0 a 3 答案 解析 例2在下列区间中 函数f x ex 4x 3的零点所在的区间为 类型二用二分法求函数的零点或方程的近似解 解析 f x 是R上的增函数且图像是连续的 且f 0 e0 4 0 3 0 f 1 e 4 3 0 f x 在 0 1 内有唯一零点 答案 解析 1 根据f a0 f b0 0确定初始区间 高次方程要先确定有几个解再确定初始区间 2 初始区间的选定一般在两个整数间 不同的初始区间对应的结果是相同的 但二分的次数相差较大 3 取区间中点c 计算中点函数值f c 确定新的零点区间 直到所取区间 an bn 中 an bn 那么区间 an bn 内任意一个数都是满足精度 的近似解 反思与感悟 跟踪训练2已知函数f x logax x b a 0 且a 1 当2 a 3 b 4时 函数f x 的零点x0 n n 1 n N 则n 2 答案 解析 解析 a 2 f x logax x b在 0 上为增函数 且f 2 loga2 2 b f 3 loga3 3 b 2 a 3 b 4 0 loga2 1 2 2 b 1 2 loga2 2 b 0 又1 loga3 2 1 3 b 0 0 loga3 3 b 2 即f 2 0 f 3 0 又 f x 在 0 上是增函数 f x 在 2 3 内必存在唯一零点 例3如图 建立平面直角坐标系xOy x轴在地平面上 y轴垂直于地平面 单位长度为1千米 某炮位于坐标原点 已知炮弹发射后的轨迹在方程y kx 1 k2 x2 k 0 表示的曲线上 其中k与发射方向有关 炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 类型三函数模型及应用 解答 1 求炮的最大射程 由实际意义和题设条件知x 0 k 0 所以炮的最大射程为10千米 2 设在第一象限有一飞行物 忽略其大小 其飞行高度为3 2千米 试问它的横坐标a不超过多少时 炮弹可以击中它 请说明理由 解因为a 0 所以炮弹可击中目标 解答 关于k的方程a2k2 20ak a2 64 0有正根 判别式 20a 2 4a2 a2 64 0 a 6 所以当它的横坐标a不超过6时 可击中目标 在建立和应用函数模型时 准确地把题目要求翻译成数学问题 如最大射程翻译成y 0时求x的最大值 非常重要 另外实际问题要注意实际意义对定义域 取值范围的影响 反思与感悟 跟踪训练3某食品的保鲜时间y 单位 小时 与储藏温度x 单位 满足函数关系y ekx b e 2 718 为自然对数的底数 k b为常数 若该食品在0 的保鲜时间是192小时 在22 的保鲜时间是48小时 则该食品在33 的保鲜时间是 小时 答案 解析 24 故e33k b e33k eb 24 即该食品在33 的保鲜时间是24小时 当堂训练 1 已知函数f x ax x a a 0 a 1 那么函数f x 的零点有A 0个B 1个C 2个D 至少1个 答案 2 3 4 5 1 解析 解析在同一坐标系中作出函数y ax与y x a的图像 当a 1时 如图 1 当0 a 1时 如图 2 故选D 解析由晨练的图像可知 总共分为三部分 前一段随着时间的增加 离家的距离增大 接着一段时间是保持离家距离不变 根据四个选项可知只有选项D符合 同时 最后一段是随着时间的增加 离家的距离越来越小 选项D也符合 故选D 2 3 4 5 1 2 如图所示是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图像 若用黑点表示张大爷家的位置 则张大爷散步行走的路线可能是 答案 解析 3 若a b c 则函数f x x a x b x b x c x c x a 的两个零点分别位于区间A a b 和 b c 内B a 和 a b 内C b c 和 c 内D a 和 c 内 2 3 4 5 1 答案 解析 解析由题意a b c 可得f a a b a c 0 f b b c b a 0 f c c a c b 0 显然f a f b 0 f b f c 0 所以该函数在 a b 和 b c 上均有零点 故选A 4 设函数f x log3 a在区间 1 2 内有零点 则实数a的取值范围是 答案 2 3 4 5 1 log32 1 5 已知方程2x 10 x的根x k k 1 k Z 则k 2 3 4 5 1 答案 2 规律与方法 1 对于零