高中数学第三章圆锥曲线与方程1_1椭圆及其标准方程二课件北师大版选修2_1

第三章 1椭圆 1 1椭圆及其标准方程 二 学习目标加深理解椭圆定义及标准方程 能够熟练求解与椭圆有关的轨迹问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点椭圆标准方程的认识与推导 椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么 标准方程的几何特征 椭圆的中心在坐标原点 焦点在x轴或y轴上 标准方程的代数特征 方程右边为1 左边是关于的平方和 并且分母为不相等的正值 答案 思考2 依据椭圆方程 如何确定其焦点位置 把方程化为标准形式 与x2 y2相对应的分母哪个大 焦点就在相应的轴上 答案 思考3 观察椭圆的形状 你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单 并写出求解过程 答案 1 如图所示 以经过椭圆两焦点F1 F2的直线为x轴 线段F1F2的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系xOy 2 设点 设点M x y 是椭圆上任意一点 且椭圆的焦点坐标为F1 c 0 F2 c 0 5 从上述过程可以看到 椭圆上任意一点的坐标都满足方程 以方程 的解 x y 为坐标的点到椭圆的两个焦点F1 c 0 F2 c 0 的距离之和为2a 即以方程 的解为坐标的点都在椭圆上 由曲线与方程的关系可知 方程 是椭圆的方程 我们把它叫作椭圆的标准方程 梳理 1 椭圆的标准方程的形式 2 方程Ax2 By2 1表示椭圆的充要条件是 3 椭圆方程中参数a b c之间的关系为 A 0 B 0且A B a2 b2 c2 题型探究 类型一椭圆标准方程的确定 解答 方法一 1 当焦点在x轴上时 2 当焦点在y轴上时 此时不符合a b 0 所以方程组无解 方法二设所求椭圆的方程为Ax2 By2 1 A 0 B 0且A B 求解椭圆的标准方程 可以利用定义 也可以利用待定系数法 选择求解方法时 一定要结合题目条件 其次需注意椭圆的焦点位置 反思与感悟 跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程 解答 椭圆的焦点在y轴上 由椭圆的定义知 又c 2 b2 a2 c2 6 2 焦点在y轴上 且经过两点 0 2 和 1 0 椭圆的焦点在y轴上 又椭圆经过点 0 2 和 1 0 解答 类型二相关点法在求解椭圆方程中的应用 例2如图 在圆x2 y2 4上任取一点P 过点P作x轴的垂线段PD D为垂足 当点P在圆上运动时 求线段PD的中点M的轨迹 解答 设点M的坐标为 x y 点P的坐标为 x0 y0 把x0 x y0 2y代入方程 所以点M的轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆 引申探究若本例中 过点P作x轴的垂线段PD 改为 过点P作y轴的垂线段PD 那么线段PD的中点M的轨迹又是什么 设M x y P x0 y0 故点M的轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆 解答 如果一个动点P随着另一个在已知曲线上运动的动点Q而运动 则求P点的轨迹方程时一般用转代法来求解 基本步骤为 1 设点 设所求轨迹上动点坐标为P x y 已知曲线上动点坐标为Q x1 y1 反思与感悟 3 代换 将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程 并把所得方程化简即可 跟踪训练2如图所示 B点坐标为 2 0 P是以O为圆心的单位圆上的动点 POB的平分线交直线PB于点Q 求点Q的轨迹方程 解答 设Q x y P x0 y0 则 x 2 y 2 x0 x y0 y 又 点P在单位圆x2 y2 1上 当堂训练 2 3 4 5 1 因为焦点在x轴上 故m 1 故选A 答案 解析 2 设B 4 0 C 4 0 且 ABC的周长等于18 则动点A的轨迹方程为 答案 解析 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 又c2 a2 b2 9 b2 9 a2 18 2 3 4 5 1 答案 解析 5 ABC的三边长a b c成等差数列 且b 6 求顶点B的轨迹方程 解答 以直线AC为x轴 AC的中点为原点 建立直角坐标系 设A 3 0 C 3 0 B x y 则 BC AB a c 2b 2 AC 12 B点的轨迹是以A C为焦点的椭圆 且