高中数学 第二章 数列 2_2_2 等差数列的前n项和（二）课件 新人教b版必修5

第二章 数列 2 2等差数列2 2 2等差数列的前n项和 二 学习目标 1 掌握等差数列与其前n项和Sn有关的一些性质 能熟练运用这些性质解题 2 掌握可以转化为等差数列的数列求和问题 3 会用等差数列的相关知识解决简单的实际问题 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 如果已知数列 an 的前n项和Sn的公式 如何求它的通项公式 如果一个数列的前n项和的公式是Sn an2 bn c a b c为常数 那么这个数列一定是等差数列吗 答若n 1时 a1 S1 若n 2时 an Sn Sn 1 对于Sn an2 bn c a b c为常数 当c 0时 an 是等差数列 当c 0时 an 不是等差数列 预习导引 等差数列前n项和的性质 1 等差数列 an 的公差为d 前n项和为Sn 那么数列Sk S2k Sk S3k S2k k N 是等差数列 其公差等于 2 若在等差数列 an 中 a1 0 d0 则Sn存在 最小值 k2d 最大值 3 若等差数列的项数为2n n N 时 则S2n 且S偶 S奇 4 若等差数列的项数为2n 1 n N 时 则S2n 1 且S奇 S偶 an S奇 nan S偶 n 1 an 2n 1 an n an an 1 nd 要点一等差数列前n项和性质的应用例1已知等差数列 an Sm S2m S3m分别是其前m 前2m 前3m项和 若Sm 30 S2m 100 求S3m 解方法一设 an 的公差为d 依据题设和前n项和公式有 方法二Sm S2m Sm S3m S2m成等差数列 所以30 70 S3m 100成等差数列 所以2 70 30 S3m 100 所以S3m 210 方法三在等差数列 an 中 因为Sn a1n n n 1 d 所以S3m 3 S2m Sm 3 100 30 210 规律方法在等差数列中 前n项和Sn的问题利用公式可列出关于a1和d的方程 组 要注意等差数列中Sm S2m Sm S3m S2m 也成等差数列且公差为m2d 也成等差数列 用此性质可简化运算 跟踪演练1项数为奇数的等差数列 奇数项之和为44 偶数项之和为33 求这个数列的中间项及项数 解设等差数列共2n 1项 则奇数项有n 1项 偶数项有n项 中间项是第n 1项 记为an 1 设公差为d S奇 S偶 a1 nd an 1 11 即中间项an 1 11 又S2n 1 S奇 S偶 77 2n 1 11 77 2n 1 7 即数列的中间项为11 这个数列共7项 要点二等差数列前n项和公式在实际中的应用例2某人用分期付款的方式购买一件家电 价格为1150元 购买当天先付150元 以后每月的这一天都交付50元 并加付欠款利息 月利率为1 若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月 则分期付款的第10个月该交付多少钱 全部贷款付清后 买这件家电实际花费多少钱 解设每次交款数额依次为a1 a2 a20 则a1 50 1000 1 60 元 a2 50 1000 50 1 59 5 元 a10 50 1000 9 50 1 55 5 元 即第10个月应付款55 5元 由于 an 是以60为首项 以 0 5为公差的等差数列 即全部付清后实际付款1105 150 1255 元 规律方法建立等差数列的模型时 要根据题意找准首项 公差和项数或者首项 末项和项数 跟踪演练2甲 乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动 甲第1分钟走2m 以后每分钟比前1分钟多走1m 乙每分钟走5m 1 甲 乙开始运动后几分钟相遇 解设n分钟后第1次相遇 依题意 有2n 5n 70 整理得n2 13n 140 0 解之得n 7 n 20 舍去 第1次相遇是在开始运动后7分钟 解设n分钟后第2次相遇 依题意 有2n 5n 3 70 整理得n2 13n 420 0 解之得n 15 n 28 舍去 第2次相遇是在开始运动后15分钟 2 如果甲 乙到达对方起点后立即返回 甲继续每分钟比前1分钟多走1m 乙继续每分钟走5m 那么开始运动几分钟后第二次相遇 要点三等差数列的绝对值 an 的前n项和例3在等差数列 an 中 Sn为前n项和 且S2 16 S4 24 求Tn a1 a2 an 的值 解由S2 16 S4 24 所以等差数列 an 的通项公式为an 11 2n n N 1 当n 5时 Tn a1 a2 an a1 a2 an Sn n2 10n 2 当n 6时 Tn a1 a2 an a1 a2 a5 a6 a7 an 2S5 Sn 2 52 10 5 n2 10n n2 10n 50 规律方法求等差数列 an 前n项绝对值的和 首先要搞清哪些项是正数哪些项是负数 正的直接去掉绝对值 负的变为原来的相反数 再转化为等差数列 an 的前n项和的形式求解 跟踪演练3数列 an 的前n项和Sn 100n n2 n N 1 an 是什么数列 解an Sn Sn 1 100n n2 100 n 1 n 1 2 101 2n n 2 a1 S1 100 1 12 99 101 2 1 数列 an 的通项公式为an 101 2n n N 又an 1 an 2为常数 数列 an 是首项为a1 99 公差d 2的等差数列 2 设bn an 求数列 bn 的前n项和 解令an 101 2n 0 得n 50 5 n N n 50 n N 当1 n 50时 an 0 此时bn an an bn 的前n项和Sn 100n n2 当n 51时 an 0 此时bn an an 由b51 b52 bn a51 a52 an Sn S50 S50 Sn 得数列 bn 的前n项和为Sn S50 S50 Sn 2S50 Sn 2 2500 100n n2 5000 100n n2 由 得数列 bn 的前n项和为 1 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若S3 9 S6 36 则a7 a8 a9等于 A 63B 45C 36D 27解析数列 an 为等差数列 则S3 S6 S3 S9 S6为等差数列 即2 S6 S3 S3 S9 S6 S3 9 S6 S3 27 则S9 S6 45 a7 a8 a9 S9 S6 45 B 1 2 3 4 2 在等差数列 an 中 S10 4S5 则等于 A B 2C D 4解析由题意得 10a1 10 9d 4 5a1 5 4d 10a1 45d 20a1 40d 10a1 5d A 2 3 4 1 3 在一个等差数列中 已知a10 10 则S19 1 2 3 4 190 4 假设某市2011年新建住房400万平方米 其中有250万平方米是中低价房 每年新建住房中 中低价房的面积均比上一年增加50万平方米 那么 到哪一年底 该市历年所建中低价房的累计面积 以2011年为累计的第一年 将首次不少于4750万平方米 解设中低价房的面积形成的数列为 an 由题意可知 an 是等差数列 其中a1 250 d 50 1 2 3 4 则an 250 n 1 50 50n 200 Sn 250n 50 25n2 225n 令25n2 225n 4750 即n2 9n 190 0 而n是正整数 n 10 到2020年底 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米 1 2 3 4 课堂小结1 等差数列前n项和的性质 1 对于前n项和形如Sn An2 Bn的数列一定为等差数列 且公差为2A 记住这个结论 如果已知数列的前n项和可以直接写出公差 2 关于奇数项的和与偶数项的和的问题 要根据项数来分析 当项数为奇数或偶数时 S奇与S偶的关系是不相同的 3 数列 是等差