高中数学第三章不等式3_5_2简单线性规划课件新人教b版必修5

第三章 不等式 学习目标 1 了解线性规划的意义以及约束条件 目标函数 可行解 可行域 最优解等基本概念 2 了解线性规划问题的图解法 并能应用它解决一些简单的实际问题 3 5二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题3 5 2简单线性规划 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 已知1 x y 5 1 x y 3 求2x 3y的取值范围 解答时容易错误地利用不等式中的加法法则 由原不等式组得到x y的范围 再分别求出2x及 3y的范围 然后相加得2x 3y的取值范围 由于不等式中的加法法则不具有可逆性 从而使x y的取值范围扩大 得出错误的2x 3y的取值范围 如果把1 x y 5 1 x y 3看作变量x y满足的条件 把求2x 3y的取值范围看作在满足上述不等式的情况下 求z 2x 3y的取值范围 就成了本节要研究的一个线性规划问题 预习导引 1 线性规划中的基本概念 最大值或最小值 不等式组 关于变量的一次函数 可行解 关于变量的一次不等式 或等式 最大值或 最小值 最大值或最小值 坐标 解 2 目标函数的最值线性目标函数z ax by b 0 对应的斜截式直线方程是y x 在y轴上的截距是 当z变化时 方程表示一组 的直线 当b 0 截距最大时 z取得值 截距最小时 z取得值 当b 0 截距最大时 z取得值 截距最小时 z取得值 最大 互相 平行 最大 最小 最小 要点一求线性目标函数的最值 1 求函数u 3x y的最大值和最小值 表示的平面区域 如图 1 所示 由u 3x y 得y 3x u 得到斜率为3 在y轴上的截距为 u 随u变化的一组平行线 由图 1 可知 当直线经过可行域上的C点时 截距 u最大 即u最小 图 1 umin 3 2 3 9 当直线经过可行域上的B点时 截距 u最小 即u最大 u 3x y的最大值是5 最小值是 9 2 求函数z x 2y的最大值和最小值 表示的平面区域 如图 2 所示 图 2 由z x 2y 得y x z 得到斜率为 在y轴上的截距为z 随z变化的一组平行线 由图 2 可知 当直线经过可行域上的A点时 截距z最小 即z最小 zmin 2 2 3 8 当直线与直线x 2y 4重合时 截距z最大 即z最大 zmax x 2y 4 z x 2y的最大值是4 最小值是 8 规律方法图解法是解决线性规划问题的有效方法 其关键在于平移目标函数对应的直线ax by 0 看它经过哪个点 或哪些点 时最先接触可行域和最后离开可行域 则这样的点即为最优解 再注意到它的几何意义 从而确定是取得最大值还是最小值 目标函数为z 3x 5y 作直线l 3x 5y 0 平移直线l 在可行域内以经过点A 的直线l1所对应的z最大 类似地 在可行域内 以经过点B 2 1 的直线l2所对应的z最小 zmax 3 5 17 zmin 3 2 5 1 11 要点二非线性目标函数的最值问题 1 z x2 y2 10y 25的最小值 解作出可行域如图所示 A 1 3 B 3 1 C 7 9 z x2 y 5 2表示可行域内任一点 x y 到点M 0 5 的距离的平方 过M作AC的垂线 易知垂足在AC上 故 MN 规律方法非线性目标函数的最值问题 要充分理解非线性目标函数的几何意义 诸如两点间的距离 或平方 点到直线的距离 过已知两点的直线斜率等 常见代数式的几何意义主要有 要点三线性规划的实际应用例3某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐 已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物 6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C 一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物 6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C 另外 该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物 42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C 如果一个单位的午餐 晚餐的费用分别是2 5元和4元 那么要满足上述的营养要求 并且花费最少 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐 解设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位 所花的费用为z元 则依题意得 z 2 5x 4y 且x y满足 让目标函数表示的直线2 5x 4y z在可行域上平移 由图可知z 2 5x 4y在B 4 3 处取得最小值 因此 应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐 就可满足要求 规律方法线性规划解决实际问题的步骤 1 分析并将已知数据列出表格 2 确定线性约束条件 3 确定线性目标函数 4 画出可行域 5 利用线性目标函数 直线 求出最优解 6 实际问题需要整数解时 应适当调整 以确定最优解 跟踪演练3某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品 由乙车间加工出B产品 甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时 可加工出7千克A产品 每千克A产品获利40元 乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时 可加工出4千克B产品 每千克B产品获利50元 甲 乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工 每天甲 乙两车间耗费工时总和不得超过480小时 甲 乙两车间每天总获利最大的生产计划为 A 甲车间加工原料10箱 乙车间加工原料60箱B 甲车间加工原料15箱 乙车间加工原料55箱C 甲车间加工原料18箱 乙车间加工原料50箱D 甲车间加工原料40箱 乙车间加工原料30箱 解析设甲车间加工原料x箱 乙车间加工原料y箱 甲 乙两车间每天总获利为z 280 x 200y 画出可行域如图所示 点M 15 55 为直线x y 70和直线10 x 6y 480的交点 由图象知在点M 15 55 处z取得最大值 答案B 1 2 3 4 1 2 3 4 作出可行域如图 1 2 3 4 答案C 2 3 4 1 A 6B 7C 8D 23 2 3 4 1 解析作出可行域如图所示 由图可知 z 2x 3y经过点A 2 1 时 z有最小值 z的最小值为7 答案B 3 给出平面区域如图阴影部分所示 若使目标函数z ax y a 0 取得最大值的最优解有无穷多个 则a的值为 1 2 3 4 1 2 3 4 解析将z ax y变形 得y ax z 当它与直线AC重合时 z取最大值的点有无穷多个 1 2 3 4 解析由不等式组表示的可行域知 目标函数z在点 0 2 处取得最大值8 8 课堂小结1 用图解法解决线性或非线性规划问题的基本步骤 1 在平面直角坐标系内作出可行域 2 考虑目标函数的几何意义 将目标函数进行变形 3 确定最优解 在可行域内平行移动目标函数变形后的直线 从而确定最优解 4 求最值 将最优解代入目标函数