高中数学 第三章 指数函数和对数函数 5_1 对数函数的概念 5_2 对数函数y＝log2x的图像和性质课件 北师大版必修1

5 2对数函数y log2x的图像和性质 5 1对数函数的概念 学习目标1 理解对数函数的概念 2 掌握对数函数的性质 3 了解对数函数在生产实际中的简单应用 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一对数函数的概念 已知函数y 2x 那么反过来 x是否为关于y的函数 答案 答案由于y 2x是单调函数 所以对于任意y 0 都有唯一确定的x与之对应 故x也是关于y的函数 其函数关系式是x log2y 此处y 0 一般地 我们把叫作对数函数 其中x是自变量 函数的定义域是 a叫作对数函数的底数 特别地 称以10为底的对数函数y lgx为常用对数函数 称以无理数e为底的对数函数y lnx为自然对数函数 梳理 函数y logax a 0 a 1 0 思考 知识点二对数函数的图像与性质 y logax化为指数式是x ay 你能用指数函数单调性推导出对数函数单调性吗 答案 答案当a 1时 若0 x1 x2 则 解指数不等式 得y1 y2从而y logax在 0 上为增函数 当0 a 1时 同理可得y logax在 0 上为减函数 梳理 类似地 我们可以借助指数函数图像和性质得到对数函数图像和性质 题型探究 解答 类型一对数函数的概念 对数函数必须是形如y logax a 0 且a 1 的形式 即必须满足以下条件 1 系数为1 2 底数为大于0且不等于1的常数 3 对数的真数仅有自变量x 反思与感悟 跟踪训练1判断下列函数是不是对数函数 并说明理由 1 y logax2 a 0 且a 1 2 y log2x 1 3 y logxa x 0 且x 1 4 y log5x 解答 解 1 中真数不是自变量x 不是对数函数 2 中对数式后减1 不是对数函数 3 中底数是自变量x 而非常数a 不是对数函数 4 为对数函数 例2求下列函数的定义域 1 y loga 3 x loga 3 x 类型二对数函数的定义域的应用 解答 函数的定义域是 x 3 x 3 2 y log2 16 4x 解答 解由16 4x 0 得4x 16 42 由指数函数的单调性得x 2 函数y log2 16 4x 的定义域为 x x 2 解答 引申探究1 若把例2 1 中的函数改为y loga x 3 loga x 3 求定义域 函数y loga x 3 loga x 3 的定义域为 x x 3 解得x3 函数y loga x 3 x 3 的定义域为 x x3 相比引申探究1 函数y loga x 3 x 3 的定义域多了 3 这个区间 原因是对于y loga x 3 x 3 要使对数有意义 只需 x 3 与 x 3 同号 而对于y loga x 3 loga x 3 要使对数有意义 必须 x 3 与 x 3 同时大于0 解答 2 求函数y loga x 3 x 3 的定义域 相比引申探究1 定义域有何变化 求含对数式的函数定义域的关键是真数大于0 底数大于0且不为1 如需对函数式变形 需注意真数底数的取值范围是否改变 反思与感悟 解答 跟踪训练2求下列函数的定义域 故所求函数的定义域为 3 2 2 解答 2 y log x 1 16 4x 所以 1 x 2 且x 0 故所求函数的定义域为 x 1 x 2 且x 0 解答 3 y log 3x 1 2x 3 命题角度1比较同底对数值的大小例3比较下列各组数中两个值的大小 1 log23 4 log28 5 类型三对数函数单调性的应用 解答 解考察对数函数y log2x 因为它的底数2 1 所以它在 0 上是增函数 又3 4 8 5 于是log23 4 log28 5 2 log0 31 8 log0 32 7 解答 解考察对数函数y log0 3x 因为它的底数0log0 32 7 3 loga5 1 loga5 9 a 0 且a 1 解答 解当a 1时 y logax在 0 上是增函数 又5 1 5 9 于是loga5 1loga5 9 综上 当a 1时 loga5 1 loga5 9 当0 a 1时 loga5 1 loga5 9 比较两个同底数的对数大小 首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性 然后比较真数大小 再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小 对于底数以字母形式出现的 需要对底数a进行讨论 对于不同底的对数 可以估算范围 如log22 log23 log24 即1 log23 2 从而借助中间值比较大小 反思与感悟 跟踪训练3设a log3 b log2 c log3 则A a b cB a c bC b a cD b c a 答案 解析 命题角度2求y logaf x 型的函数值域例4函数f x log2 3x 1 的值域为 0 解析f x 的定义域为R 3x 0 3x 1 1 y log2x在 0 上递增 log2 3x 1 log21 0 即f x 的值域为 0 答案 解析 在函数三要素中 值域从属于定义域和对应关系 故求y logaf x 型函数的值域必先求定义域 进而确定f x 的范围 再利用对数函数y logax的单调性求出logaf x 的取值范围 反思与感悟 跟踪训练4函数y 的值域为A 0 3 B 0 3 C 3 D 0 答案 解析 当x 1时 log2x log21 0 命题角度1画与对数函数有关的函数图像例5画出函数y lg x 1 的图像 类型四对数函数的图像 解答 解 1 先画出函数y lgx的图像 如图 2 再画出函数y lg x 的图像 如图 3 最后画出函数y lg x 1 的图像 如图 现在画图像很少单纯描点 大多是以基本初等函数为原料加工 所以一方面要掌握一些常见的平移 对称变换的结论 另一方面要关注定义域 值域 单调性 关键点 反思与感悟 跟踪训练5画出函数y lg x 1 的图像 解答 解 1 先画出函数y lgx的图像 如图 2 再画出函数y lg x 1 的图像 如图 3 再画出函数y lg x 1 的图像 如图 命题角度2与对数函数有关的图像变换例6函数f x 4 loga x 1 a 0 a 1 的图像过一个定点 则这个定点的坐标是 答案 解析 解析因为函数y loga x 1 的图像过定点 2 0 所以函数f x 4 loga x 1 的图像过定点 2 4 2 4 反思与感悟 跟踪训练6已知函数y loga x c a c为常数 其中a 0 a 1 的图像如图 则下列结论成立的是A a 1 c 1B a 1 01D 0 a 1 0 c 1 答案 解析 解析由对数函数的图像和性质及函数图像的平移变换知0 a 1 0 c 1 当堂训练 1 下列函数为对数函数的是A y logax 1 a 0且a 1 B y loga 2x a 0且a 1 C y log a 1 x a 1且a 2 D y 2logax a 0且a 1 答案 2 3 4 5 1 2 函数y log2 x 2 的定义域是A 0 B 1 C 2 D 4 答案 2 3 4 5 1 3 函数f x log0 2 2x 1 的值域为A 0 B 0 C 0 D 0 答案 2 3 4 5 1 4 函数y logax的图像如图所示 则a的值可以是A 0 5B 2C eD 答案 2 3 4 5 1 解析 解析 函数y logax的图像单调递减 0 a 1 只有选项A符合题意 5 若函数f x 2loga 2 x 3 a 0 且a 1 过定点P 则点P的坐标是 答案 2 3 4 5 1 1 3 规律与方法 1 含有对数符号 log 的函数不一定是对数函数 判断一个函数是否为对数函数 不仅要含有对数符号 lo