高中数学第一章数列章末复习课课件北师大版必修5

第一章数列 章末复习课 1 整合知识结构 梳理知识网络 进一步巩固 深化所学知识 2 提高解决等差数列 等比数列问题的能力 培养综合运用知识解决问题的能力 学习目标 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点一知识网络 知识点二对比归纳等差数列和等比数列的基本概念和公式 知识点三本章公式推导和解题过程中用到的基本方法和思想 1 在求等差数列和等比数列的通项公式时 分别用到了法和法 2 在求等差数列和等比数列的前n项和时 分别用到了法和法 3 等差数列和等比数列各自都涉及5个量 已知其中任意个求其余个 用到了方程思想 4 在研究等差数列和等比数列单调性 等差数列前n项和最值问题时 都用到了思想 5 等差数列和等比数列在很多地方是相似的 发现和记忆相关结论时用到了 累加 累乘 倒序相加 位相减 错 三 两 函数 类比 题型探究 类型一方程思想求解数列问题 例1设 an 是公比大于1的等比数列 Sn为数列 an 的前n项和 已知S3 7 且a1 3 3a2 a3 4构成等差数列 1 求数列 an 的通项 解答 故数列 an 的通项为an 2n 1 2 令bn lna3n 1 n 1 2 求数列 bn 的前n项和Tn 解答 由于bn lna3n 1 n 1 2 由 1 得a3n 1 23n bn ln23n 3nln2 又bn 1 bn 3ln2 bn 是等差数列 反思与感悟 在等差数列和等比数列中 通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量 a1 an n q d Sn 其中首项a1和公比q 公差d 为基本量 知三求二 是指将已知条件转换成关于a1 an n q d Sn的方程组 通过方程的思想解出需要的量 跟踪训练1记等差数列的前n项和为Sn 设S3 12 且2a1 a2 a3 1成等比数列 求Sn 解答 类型二转化与化归思想求解数列问题 例2在数列 an 中 Sn 1 4an 2 a1 1 1 设cn 求证数列 cn 是等差数列 证明 由Sn 1 4an 2 则当n 2 n N 时 有Sn 4an 1 2 得an 1 4an 4an 1 方法一对an 1 4an 4an 1两边同除以2n 1 得 即cn 1 cn 1 2cn 数列 cn 是等差数列 由Sn 1 4an 2 得a1 a2 4a1 2 则a2 3a1 2 5 方法二 an 1 2an 2an 4an 1 2 an 2an 1 令bn an 1 2an 则 bn 是以a2 2a1 4a1 2 a1 2a1 3为首项 2为公比的等比数列 bn 3 2n 1 2 求数列 an 的通项公式及前n项和的公式 解答 设Sn 3 1 2 1 3 2 1 20 3n 1 2n 2 2Sn 3 1 20 3 2 1 21 3n 1 2n 1 故Sn 2Sn Sn 3 1 2 1 3 20 21 2n 2 3n 1 2n 1 1 3 3n 4 2n 1 2 3n 4 2n 1 数列 an 的通项公式为an 3n 1 2n 2 前n项和公式为Sn 2 3n 4 2n 1 n N 反思与感悟 由递推公式求通项公式 要求掌握的方法有两种 一种求法是先找出数列的前几项 通过观察 归纳得出 然后证明 另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列 再采用公式求出 跟踪训练2设数列 an 的前n项和为Sn 已知a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 1 求a2 a3的值 a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 当n 1时 a1 2 1 2 当n 2时 a1 2a2 a1 a2 4 a2 4 当n 3时 a1 2a2 3a3 2 a1 a2 a3 6 a3 8 解答 2 求证 数列 Sn 2 是等比数列 证明 a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 当n 2时 a1 2a2 3a3 n 1 an 1 n 2 Sn 1 2 n 1 得nan n 1 Sn n 2 Sn 1 2 n Sn Sn 1 Sn 2Sn 1 2 nan Sn 2Sn 1 2 Sn 2Sn 1 2 0 即Sn 2Sn 1 2 Sn 2 2 Sn 1 2 S1 2 4 0 Sn 1 2 0 2 故 Sn 2 是以4为首项 2为公比的等比数列 类型三函数思想求解数列问题 命题角度1借助函数性质解数列问题例3已知等差数列 an 的首项a1 1 公差d 0 且第2项 第5项 第14项分别是一个等比数列的第2项 第3项 第4项 1 求数列 an 的通项公式 解答 由题意得 a1 d a1 13d a1 4d 2 整理得2a1d d2 d 0 d 2 a1 1 an 2n 1 n N 2 设bn n N Sn b1 b2 bn 是否存在t 使得对任意的n均有Sn 总成立 若存在 求出最大的整数t 若不存在 请说明理由 解答 数列 Sn 是递增的 又 t Z 适合条件的t的最大值为8 反思与感悟 数列是一种特殊的函数 在求解数列问题时 若涉及参数取值范围 最值问题或单调性时 均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题 值得注意的是数列定义域是正整数集或 1 2 3 n 这一特殊性对问题结果可能造成影响 跟踪训练3已知首项为的等比数列 an 不是递减数列 其前n项和为Sn n N 且S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 解答 设等比数列 an 的公比为q 因为S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差数列 所以S5 a5 S3 a3 S4 a4 S5 a5 2 设Tn Sn n N 求数列 Tn 最大项的值与最小项的值 解答 命题角度2以函数为载体给出数列例4已知函数f x 2 x 无穷数列 an 满足an 1 f an n N 1 若a1 0 求a2 a3 a4 解答 由an 1 f an an 1 2 an a1 0 a2 2 a3 0 a4 2 2 若a1 0 且a1 a2 a3成等比数列 求a1的值 解答 a1 2 2 a1 2 a1 2 a1 2 2 a1 分情况讨论 反思与感悟 以函数为载体给出数列 只需代入函数式即可转化为数列问题 跟踪训练4已知函数f x 数列 an 满足a1 1 an 1 n N 1 求数列 an 的通项公式 解答 2 令Tn a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a2na2n 1 求Tn 解答 Tn a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a2na2n 1 a2 a1 a3 a4 a3 a5 a2n a2n 1 a2n 1 当堂训练 设等差数列 an 的公差为d 由前n项和的概念及已知条件得 9 2a1 d 4a1 6d 4 2a1 d 由 得d 2a1 代入 有 36a1 解得a1 0或a1 36 将a1 0舍去 因此a1 36 d 72 故数列 an 的通项公式an 36 n 1 72 72n 36 36 2n 1 1 设数列 an 是公差不为零的等差数列 Sn是数列 an 的前n项和 n N 且 9S2 S4 4S2 则数列 an 的通项公式是 答案 解析 1 2 3 an 36 2n 1 1 2 3 2 若数列 an 的前n项和Sn n2 n n 1 2 3 则此数列的通项公式为 数列 nan 中数值最小的项是第 项 答案 解析 an 3n 16 3 所以n 3时 nan的值最小 1 2 3 3 设等差数列 an 的前n项和为Sn 公比是正数的等比数列 bn 的前n项和为Tn 已知a1 1 b1 3 a3 b3 17 T3 S3 12 求 an bn 的通项公式 解答 设数列 an 的公差为d 数列 bn 的公比为q 由a3 b3 17得1 2d 3q2 17 由T3 S3 12得q2 q d 4 由 及q 0解得q 2 d 2 故所求的通项公式为an 2n 1 bn 3 2n 1 规律与方法 1 等差数列与等比数列是高中