高中数学 第三章 不等式 3_2 均值不等式（一）课件 新人教b版必修5

第三章 不等式 学习目标 1 理解均值不等式的内容及证明 2 能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小 3 能初步运用均值不等式证明简单的不等式 3 2均值不等式 一 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 下列说法中 正确的有 1 a2 b2 2ab a b 2 2 a b 2 0 3 a2 b2 a b 2 4 a b 2 a b 2 解析当a b同号时 有a2 b2 a b 2 所以 3 错误 当a b异号时 有 a b 2 a b 2 所以 4 错误 1 2 预习导引 1 重要不等式对于任意实数a b a2 b2 2ab 当且仅当时 等号成立 2 均值定理如果a b R 那么 当且仅当时 等号成立 a b a b 3 算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a b 数叫做a b的算术平均值 数叫做a b的几何平均值 故均值定理可以表述为 两个正数的算术平均值它的几何平均值 大于或等于 4 均值定理的常用推论 2 当ab 0时 当ab 0时 3 a2 b2 c2ab bc ca a b c R 2 2 要点一均值不等式的证明例1证明下列不等式 并指出 号成立的条件 1 a2 b2 2ab 证明 a2 b2 2ab a b 2 0 a2 b2 2ab 当且仅当a b时 取 规律方法a2 b2 2ab对a b R都成立 成立的条件是a b R 两个不等式 号成立的条件都是a b 2 a 0 b 0 跟踪演练1还有一种证明 a 0 b 0 的方法叫做分析法 下面设计了分析法证明这个不等式的过程 你能不能把过程中留的空填正确 要证 a 0 b 0 只要证 a b 要证 只要证a b 0 要证 只要证 2 0 显然 是成立的 当且仅当a b时 的等号成立 要点二均值不等式的直接应用例2 1 已知a b c为任意的实数 求证a2 b2 c2 ab bc ca 证明 a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 即a2 b2 c2 ab bc ca 由于a b c为不全相等的正实数 故等号不成立 2 已知a b c为不全相等的正数 求证a b c 规律方法在利用均值不等式证明的过程中 常需要把数 式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数 式 以便于利用均值不等式 跟踪演练2已知x y都是正数 即 x y x2 y2 x3 y3 8x3y3 当且仅当x y时 等号成立 2 x y x2 y2 x3 y3 8x3y3 要点三含条件的不等式的证明例3已知a b c R 且a b c 1 证明 a b c 1 3 2 2 2 9 当且仅当a b c 时 取等号 规律方法使用均值不等式证明问题时 要注意条件是否满足 同时注意等号能否取到 问题中若出现 1 要注意 1 的整体代换 多次使用均值不等式 要注意等号能否同时成立 跟踪演练3已知a b x y R 且a2 b2 1 x2 y2 1 求证 ax by 1 证明 a2 x2 2ax b2 y2 2by a2 x2 b2 y2 2ax 2by 又 a2 b2 1 x2 y2 1 2ax 2by 2 ax by 1 1 不等式m2 1 2m中等号成立的条件是 A m 1B m 1C m 1D m 0 A 1 2 3 4 2 若0 a b 则下列不等式一定成立的是 2 3 4 1 C A P Q MB Q P MC Q M PD M Q P 1 2 3 4 1 2 3 4 而y logx为减函数 故Q P M 选B 答案B 1 2 3 4 4 已知00 b 0 a b 2 a2 b2 2ab 四个数中最大数应为a b或a2 b2 又 0 a 1 0 b 1 a2 b2 a b