高中数学第一单元基本初等函数ⅱ1_3_1正弦函数的图象与性质三课件新人教b版必修4

1 3 1正弦函数的图象与性质 三 第一章 1 3三角函数的图象与性质 学习目标1 掌握y sinx的最大值与最小值 并会求简单三角函数的值域和最值 2 掌握y sinx的单调性 并能利用单调性比较大小 3 会求函数y Asin x 的单调区间 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一正弦函数的定义域 值域 观察下图中的正弦曲线 正弦曲线 可得如下性质 由正弦曲线很容易看出正弦函数的定义域是实数集R 值域是 对于正弦函数y sinx x R有 当且仅当x 时 取得最大值1 当且仅当x 时 取得最小值 1 1 1 知识点二正弦函数的单调性 思考1 正弦函数在上函数值的变化有什么特点 推广到整个定义域呢 答案 答案观察图象可知 推广到整个定义域可得 思考2 正弦函数的单调区间是什么 答案 梳理 正弦函数y sinx的图象与性质 题型探究 解答 类型一求正弦函数的单调区间 因为z是x的一次函数 所以要求y 2sinz的单调递增区间 反思与感悟 用整体替换法求函数y Asin x 的单调区间时 如果式子中x的系数为负数 先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间 求单调区间时 需将最终结果写成区间形式 答案 解析 命题角度1利用正弦函数的单调性比较大小例2利用三角函数的单调性 比较下列各组数的大小 1 sin196 与cos156 类型二正弦函数单调性的应用 解答 解sin196 sin 180 16 sin16 cos156 cos 180 24 cos24 sin66 0 sin66 即sin196 cos156 解答 2 cos875 与sin980 解cos875 cos 720 155 cos155 cos 90 65 sin65 sin980 sin 720 260 sin260 sin 180 80 sin80 sin65 sin80 sin65 sin80 cos875 sin980 反思与感悟 用正弦函数的单调性比较大小时 应先将异名化同名 把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间 再利用单调性来比较大小 解答 跟踪训练2比较下列各组数的大小 解答 命题角度2已知三角函数的单调性求参数范围例3已知 是正数 函数f x 2sin x在区间上是增函数 求 的取值范围 解答 反思与感悟 此类问题可先解出f x 的单调区间 将问题转化为集合间的包含关系 然后列不等式组求出参数范围 答案 解析 类型三正弦函数的值域或最值 解答 例4求使下列函数取得最大值和最小值的x的取值范围 并说出最大值和最小值是什么 1 y sin2x 函数y sin2x取得最大值 最大值为1 函数y sin2x取得最小值 最小值为 1 解答 2 y sinx 2 解由于函数y sinx与函数y sinx 2同时取得最大值或同时取得最小值 因此 当x 2k k Z 时 函数y sinx 2取得最大值 最大值为3 当x 2k k Z 时 函数y sinx 2取得最小值 最小值为1 解答 3 y sinx 1 2 2 解设t sinx 则有y t 1 2 2 且t 1 1 于是问题就变成求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了 在闭区间 1 1 上 当t 1时 t 1 最大 函数y t 1 2 2 取得最大值 1 1 2 2 6 函数y sinx 1 2 2取得最大值6 在闭区间 1 1 上 当t 1时 t 1 最小 函数y t 1 2 2取得最小值 最小值为2 函数y sinx 1 2 2取得最小值2 反思与感悟 一般函数的值域求法有 观察法 配方法 判别式法 反比例函数法等 三角函数是函数的特殊形式 一般方法也适用 但要结合三角函数本身的性质 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种 1 形如y sin x 的三角函数 令t x 根据题中x的取值范围 求出t的取值范围 再利用三角函数的单调性 有界性求出y sint的最值 值域 2 形如y asin2x bsinx c a 0 的三角函数 可先设sinx t 将函数y asin2x bsinx c a 0 化为关于t的二次函数y at2 bt c a 0 根据二次函数的单调性求值域 最值 3 对于形如y asinx的函数的最值还要注意对a的讨论 解答 跟踪训练4求函数y sin2x sinx 1 x R的值域 解设t sinx t 1 1 f t t2 t 1 1 t 1 当t 1 即sinx 1时 ymax f t max 3 当堂训练 答案 2 3 4 5 1 解析 2 下列不等式中成立的是 答案 2 3 4 5 1 解析 即sin2 cos1 故选D 答案 2 3 4 5 1 解析 4 求函数y 3 2sinx的最值及取到最值时的自变量x的集合 解答 2 3 4 5 1 即x 4k k Z时 ymax 5 此时自变量x的集合为 x x 4k k Z 即x 4k k Z时 ymin 1 此时自变量x的集合为 x x 4k k Z 解答 2 3 4 5 1 5 求函数y 2sin 2x x 0 的单调递增区间 规律与方法 1 求函数y Asin x A 0 0 的单调区间的方法 2 比较三角函数值的大小 先利用