高中数学 第二单元 圆锥曲线与方程 2_3_2 抛物线的几何性质（二）课件 新人教b版选修1-1

第二章 2 3抛物线 2 3 2抛物线的几何性质 二 1 掌握抛物线的几何特性 2 学会解决直线与抛物线相关的综合问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点直线与抛物线的位置关系 思考1 直线与抛物线有哪几种位置关系 答案 三种 相离 相切 相交 思考2 若直线与抛物线只有一个交点 直线与抛物线一定相切吗 答案 不一定 当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时 也只有一个交点 梳理 1 直线与抛物线的位置关系与公共点个数 有两个或一个 有且只有一个 无 2 直线y kx b与抛物线y2 2px p 0 的交点个数决定于关于x的方程k2x2 2 kb p x b2 0的解的个数 当k 0时 若 0 则直线与抛物线有个不同的公共点 当 0时 直线与抛物线有个公共点 当 0时 直线与抛物线公共点 当k 0时 直线与抛物线的对称轴 此时直线与抛物线有个公共点 两 一 没有 平行或重合 一 题型探究 类型一直线与抛物线的位置关系 例1已知直线l y k x 1 与抛物线C y2 4x 问 k为何值时 直线l与抛物线C有两个交点 一个交点 无交点 解答 消去y得k2x2 2k2 4 x k2 0 2k2 4 2 4k4 16 1 k2 1 若直线与抛物线有两个交点 则k2 0且 0 即k2 0且16 1 k2 0 解得k 1 0 0 1 所以当k 1 0 0 1 时 直线l和抛物线C有两个交点 2 若直线与抛物线有一个交点 则k2 0或当k2 0时 0 解得k 0或k 1 所以当k 0或k 1时 直线l和抛物线C有一个交点 3 若直线与抛物线无交点 则k2 0且 1或k1或k 1时 直线l和抛物线C无交点 直线与抛物线交点的个数 等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数 注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况 反思与感悟 跟踪训练1平面内一动点M x y 到定点F 0 1 和到定直线y 1的距离相等 设M的轨迹是曲线C 1 求曲线C的方程 解答 x2 4y 2 在曲线C上找一点P 使得点P到直线y x 2的距离最短 求出P点的坐标 解答 3 设直线l y x m 问当实数m为何值时 直线l与曲线C有交点 解答 42 4 4m 0 m 1 所以当m 1时 直线l和曲线C有交点 类型二与弦长中点弦有关的问题 例2已知A B为抛物线E上不同的两点 若抛物线E的焦点为 1 0 线段AB恰被M 2 1 所平分 1 求抛物线E的方程 解答 2 求直线AB的方程 解答 设A x1 y1 B x2 y2 且x1 x2 4 y1 y2 2 由 得 y1 y2 y2 y1 4 x2 x1 所以所求直线AB的方程为y 1 2 x 2 即2x y 3 0 反思与感悟 2 传统法 设直线方程 并与抛物线的方程联立 消去x 或y 得关于y 或x 的一元二次方程 由根与系数的关系 得两根之和即为中点纵 或横 坐标的2倍 从而求斜率 跟踪训练2已知抛物线y2 6x 过点P 4 1 引一条弦P1P2使它恰好被点P平分 求这条弦所在的直线方程及 P1P2 解答 得ky2 6y 24k 6 0 当k 0时 62 4k 24k 6 0 设弦的两端点P1 x1 y1 P2 x2 y2 P1P2的中点为 4 1 所求直线方程为y 1 3 x 4 即3x y 11 0 y1 y2 2 y1 y2 22 所求直线的斜率k 3 所求直线方程为y 1 3 x 4 即3x y 11 0 y1 y2 2 y1y2 22 类型三抛物线性质的综合应用 命题角度1抛物线中的定点 定值 问题例3已知点A B是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且OA OB 1 求两点的横坐标之积和纵坐标之积 解答 设点A B的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 因为OA OB 所以kOA kOB 1 所以x1x2 y1y2 0 因为y1 0 y2 0 所以y1y2 4p2 所以x1x2 4p2 2 求证 直线AB过定点 证明 所以 y1 y2 y1 y2 2p x1 x2 即直线AB过定点 2p 0 反思与感悟 在直线和抛物线的综合题中 经常遇到求定值 过定点问题 解决这类问题的方法很多 如斜率法 方程法 向量法 参数法等 解决这类问题的关键是代换和转化 跟踪训练3如图 过抛物线y2 x上一点A 4 2 作倾斜角互补的两条直线AB AC交抛物线于B C两点 求证 直线BC的斜率是定值 证明 方法一设AB的斜率为k 则AC的斜率为 k AB y 2 k x 4 与y2 x联立得y 2 k y2 4 即ky2 y 4k 2 0 y 2是此方程的一个解 kAC k 由题意得kAB kAC 命题角度2对称问题例4在抛物线y2 4x上恒有两点A B关于直线y kx 3对称 求k的取值范围 解答 因为A B两点关于直线y kx 3对称 所以可设直线AB的方程为x ky m 设A x1 y1 B x2 y2 把直线AB的方程代入抛物线方程 得y2 4ky 4m 0 设AB的中点坐标为M x0 y0 因为点M x0 y0 在直线y kx 3上 因为直线AB与抛物线y2 4x交于A B两点 所以 16k2 16m 0 反思与感悟 轴对称问题 一是抓住对称两点的中点在对称轴上 二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系 跟踪训练4已知抛物线y x2 3上存在关于直线x y 0对称的相异两点A B 求A B两点间的距离 证明 由题意可设l y x b 把直线方程代入y x2 3中 得x2 x b 3 0 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 1 y1 y2 x1 b x2 b x1 x2 2b 2b 1 因为该点在直线x y 0上 当堂训练 1 2 3 4 5 1 过点P 0 1 与抛物线y2 x有且只有一个交点的直线有A 4条B 3条C 2条D 1条 答案 解析 1 2 3 4 5 当斜率不存在时 过P 0 1 的直线是y轴 与抛物线y2 x只有一个公共点 当斜率存在时 设直线为y kx 1 得k2x2 2k 1 x 1 0 当k 0时 符合题意 当k 0时 令 2k 1 2 4k2 0 与抛物线只有一个交点的直线共有3条 1 2 3 4 5 答案 解析 如图所示 由抛物线定义知 MF MH 所以 MF MN MH MN 由 MHN FOA 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 设直线AB的方程为x k y 3 2 将 与y2 8x联立 得y2 8ky 24k 16 0 令 8k 2 4 24k 16 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4 过抛物线y2 4x的顶点O作互相垂直的两弦OM ON 则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为 16 同理可得N的横坐标x2 4k2 可得x1x2 16 答案 解析 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 设所求抛物线方程为y2 ax a 0 A x1 y1 B x2 y2 消去y 得4x2 a 16 x 16 0 由 a 16 2 256 0 得a