2019_2020学年高中数学第2章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式基本不等式讲义新人教A版.docx

第1课时基本不等式学 习 目 标核 心 素 养1.了解基本不等式的证明过程(重点) 2能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.1.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养2借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养.1重要不等式a，bR，有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立2基本不等式(1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即，当且仅当ab时，等号成立1不等式a212a中等号成立的条件是()Aa1Ba1Ca1 Da0B当a212a，即(a1)20即a1时，“”成立2已知a，b(0,1)，且ab，下列各式中最大的是()Aa2b2 B2C2ab DabDa，b(0,1)，a2a，b2b，a2b2ab，又a2b22ab(ab)，2aba2b2ab.又ab2(ab)，ab最大3已知ab1，a0，b0，则ab的最小值为()A1B2 C4D8Ba0，b0，ab22，当且仅当ab1时取等号，故ab的最小值为2.4当a，bR时，下列不等关系成立的是_；ab2；a2b22ab；a2b22ab.根据xy，成立的条件判断，知错，只有正确对基本不等式的理解【例1】给出下面四个推导过程：a、b为正实数，22；aR，a0，a24；x、yR，xy0，22.其中正确的推导为()ABC DBa、b为正实数，、为正实数，符合基本不等式的条件，故的推导正确aR，a0，不符合基本不等式的条件，a24是错误的由xy0，得、均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，、均变为正数，符合均值不等式的条件，故正确1基本不等式 (a0，b0)反映了两个正数的和与积之间的关系2对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是正数(2)“当且仅当”的含义：当ab时，的等号成立，即ab；仅当ab时，的等号成立，即ab.1下列不等式的推导过程正确的是_若x1，则x22.若x0，则x24.若a，bR，则22. 中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x时即x1时，x2等号成立，因为x1，所以x2，中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件利用基本不等式比较大小【例2】(1)已知a，bR，则下列各式中不一定成立的是()Aab2 B.2C.2 D.(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则pa2b2c2与qabbcca的大小关系是_(1)D(2)a2b2c2abbcac(1)由得ab2，A成立；22，B成立；2，C成立；，D不一定成立(2)a、b、c互不相等，a2b22ab，b2c22ac，a2c22ac.2(a2b2c2)2(abbcac)即a2b2c2abbcac.1在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件2运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即ab2成立的条件是a0，b0，等号成立的条件是ab；a2b22ab成立的条件是a，bR，等号成立的条件是ab.2如果0ab1，P，Q，M，那么P，Q，M的大小顺序是()APQM BMPQCQMP DMQPB显然，又因为，(由ab也就是1可得)，所以.故MPQ.利用基本不等式证明不等式【例3】已知a，b，c是互不相等的正数，且abc1，求证：9.思路点拨看到9，想到将“1”换成“abc”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明证明a，b，cR，且abc1，33322232229.当且仅当abc时取等号，9.本例条件不变，求证：8.证明a，b，cR，且abc1，10，10，10，8，当且仅当abc时取等号，8.1条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系2先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法3已知a，b，cR，求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2.证明由基本不等式可得a4b4(a2)2(b2)22a2b2，同理，b4c42b2c2，c4a42a2c2，(a4b4)(b4c4)(c4a4)2a2b22b2c22a2c2，从而a4b4c4a2b2b2c2c2a2.4已知a1，b0，1，求证：a2b27.证明由1，得b(a1)，则a2baaa6(a1)727，当a1时，即a1时，取等号1应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a0，b0时，才会有.对于“当且仅当时，成立”这句话要从两个方面理解：一方面，当ab时，；另一方面：当时，也有ab.2应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构.1思考辨析(1)对任意a，bR，a2b22ab，ab2均成立()(2)若a0，则a22.()(3)若a0，b0，则ab2.()提示(1)任意a，bR，有a2b22ab成立，当a，b都为正数时，不等式ab2成立(2)只有当a0时，根据