中考数学复习 第5章 四边形与相似 第19讲 矩形、菱形、正方形课件1

第五章四边形与相似第19讲矩形 菱形 正方形 考点梳理过关 考点1矩形的性质与判定6年5考 考点2菱形的性质与判定6年6考 考点3正方形的性质与判定6年4考 典型例题运用 类型1矩形的性质与判定 例1 2017 达州中考 如图 在 ABC中 点O是边AC上一个动点 过点O作直线EF BC分别交 ACB 外角 ACD的平分线于点E F 1 若CE 8 CF 6 求OC的长 2 连接AE AF 问 当点O在边AC上运动到什么位置时 四边形AECF是矩形 并说明理由 思路分析 1 根据平行线的性质以及角平分线的性质得出 OEC OCE OFC OCF 证出OE OC OF ECF 90 由勾股定理求出EF 即可得出答案 2 根据平行四边形的判定以及矩形的判定即可得出 1 CE平分 ACB CF平分 ACD OCE BCE OCF DCF EF BC OEC BCE OFC DCF OEC OCE OFC OCF OE OC OF OC OE OF OCE BCE OCF DCF 180 ECF 90 2 当点O在边AC上运动到AC中点时 四边形AECF是矩形 理由如下 如图 连接AE AF 当O为AC的中点时 AO CO 又 EO FO 四边形AECF是平行四边形 ECF 90 平行四边形AECF是矩形 技法点拨 矩形的定义既可以作为性质 也可以作为判定 矩形的性质是求证线段或角相等时常用的知识点 证明一个四边形是矩形的方法 1 先证明它是平行四边形 再证明它有一个角是直角 2 先证明它是平行四边形 再证明它的对角线相等 3 证明有三个内角为90 变式运用 1 2017 南宁中考 如图 矩形ABCD的对角线AC BD相交于点O 点E F在BD上 BE DF 1 求证 AE CF 2 若AB 6 COD 60 求矩形ABCD的面积 解 1 证明 四边形ABCD是矩形 OA OC OB OD AC BD ABC 90 BE DF OE OF AOE COF SAS AE CF 2 OA OC OB OD AC BD OA OB AOB COD 60 AOB是等边三角形 OA AB 6 AC 2OA 12 例2 2017 滨州中考 如图 在 ABCD中 以点A为圆心 AB长为半径画弧交AD于点F 再分别以点B F为圆心 大于BF的相同长为半径画弧 两弧交于点P 连接AP并延长交BC于点E 连接EF 则所得四边形ABEF是菱形 思路分析 1 要证明四边形ABEF是菱形 先考虑证明其是平行四边形 已知BE AF 设法证明BE AF即可 2 由于四边形ABCD为平行四边形 可将求 C转化为求 BAD 而菱形的对角线平分一组对角 因此可先求 DAE的大小 类型2菱形的性质与判定 1 根据以上尺规作图的过程 求证四边形ABEF是菱形 2 若菱形ABEF的周长为16 AE 4 求 C的大小 1 证明 由作图过程可知 AB AF AE平分 BAD BAE EAF 四边形ABCD为平行四边形 BC AD AEB EAF BAE AEB AB BE BE AF AF BE 四边形ABEF为平行四边形 又 AB AF 四边形ABEF为菱形 2 如图 连接BF 交AE于点O 四边形ABEF为菱形 BF与AE互相垂直平分 BAE FAE OAF 30 BAF 60 四边形ABCD为平行四边形 C BAD 60 技法点拨 菱形的定义既可作为性质 也可作为判定 证明一个四边形是菱形的一般方法 1 四边相等 2 首先证明是平行四边形 然后证明有一组邻边相等 3 对角线互相垂直平分 4 对角线垂直的平行四边形 变式运用 2 2017 北京中考 如图 在四边形ABCD中 BD为一条对角线 AD BC AD 2BC ABD 90 E为AD的中点 连接BE 1 求证 四边形BCDE为菱形 2 连接AC 若AC平分 BAD BC 1 求AC的长 解 1 证明 AD 2BC E为AD的中点 DE BC AD BC 四边形BCDE为平行四边形 ABD 90 AE DE BE DE 平行四边形BCDE为菱形 2 如图 连接AC AD BC AC平分 BAD BAC DAC BCA AB BC 1 AD 2BC AD 2 类型3正方形的性质与判定 例3 2017 青岛中考 已知 如图 在菱形ABCD中 点E O F分别是边AB AC AD的中点 连接CE CF OE OF 1 求证 BCE DCF 2 当AB与BC满足什么条件时 四边形AEOF为正方形 请说明理由 思路分析 1 利用SAS证明 BCE DCF 2 先证明四边形AEOF为菱形 当BC AB 得 BAD 90 再利用有一个角是90 的菱形是正方形证明即可 1 证明 四边形ABCD为菱形 AB BC CD DA B D 又E F分别是AB AD的中点 BE DF BCE DCF SAS 2 当AB BC时 四边形AEOF为正方形 理由如下 E O分别是AB AC的中点 EO BC 又BC AD OE AD 即OE AF 同理 可证OF AE 四边形AEOF为平行四边形 由 1 可得AE AF 平行四边形AEOF为菱形 AB BC BAD ABC 90 菱形AEOF为正方形 技法点拨 证明一个四边形是正方形可从以下几个方面考虑 1 平行四边形 一组邻边相等 一个角为直角 2 矩形 一组邻边相等 3 矩形 对角线互相垂直 4 菱形 一个角为直角 5 菱形 对角线相等 变式运用 3 2017 杭州中考 如图 在正方形ABCD中 点G在对角线BD上 不与点B D重合 GE DC GF BC 连接AG 1 写出线段AG GE GF长度之间的数量关系 并说明理由 2 若正方形ABCD的边长为1 AGF 105 求线段BG的长 解 1 结论 AG2 GE2 GF2 理由 如图 连接CG 四边形ABCD是正方形 A C关于对角线BD对称 点G在BD上 GA GC GE DC GF BC GEC ECF CFG 90 四边形EGFC是矩形 CF GE 在Rt GFC中 CG2 GF2 CF2 AG2 GF2 GE2 2 如图 作BN AG于点N 在BN上截取一点M 使得AM BM 设AN x AGF 105 FBG FGB ABG 45 AGB 60 GBN 30 ABM MAB 15 AMN 30 BG BN cos30 六年真题全练 命题点1矩形的性质与判定 1 2017 潍坊 18 3分 如图 将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折 使点B落在AD上 记为B 折痕为CE 再将CD边斜向下对折 使点D落在B C上 记为D 折痕为CG B D 2 BE BC 则矩形纸片ABCD的面积为 15 2 2016 潍坊 21 1 4分 链接第21讲六年真题全练第7题 3 2014 潍坊 8 3分 链接第12讲六年真题全练第2题 4 2013 潍坊 19 1 5分 链接第22讲六年真题全练第6题 5 2012 潍坊 8 3分 链接第20讲六年真题全练第1题 菱形的性质与判定是潍坊市中考命题的热点 近几年主要以解答题的形式考查 难度适中 一般情况下不单独命题 经常与相似 平移 旋转的知识结合命题 6 2017 潍坊 12 3分 链接第21讲六年真题全练第5题 7 2015 潍坊 9 3分 链接第20讲六年真题全练第2题 8 2013 潍坊 14 3分 如图 ABCD是对角线互相垂直的四边形 且OB OD 请你添加一个适当的条件 使ABCD成为菱形 只需添加一个即可 命题点2菱形的性质与判定 OA OC或AD BC或AD BC或AB BC 9 2017 潍坊 24 1 5分 链接专题3最值问题例3 10 2016 潍坊 24 12分 如图 在菱形ABCD中 AB 2 BAD 60 过点D作DE AB于点E DF BC于点F 1 如图1 连接AC分别交DE DF于点M N 求证 MN AC 2 如图2 将 EDF以点D为旋转中心旋转 其两边DE DF 分别与直线AB BC相交于点G P 连接GP 当 DGP的面积等于3时 求旋转角的大小并指明旋转方向 解 1 证明 如图 连接BD 交AC于点O 在菱形ABCD中 BAD 60 AD AB ABD为等边三角形 DE AB AE BE 2 AB CD BAD 60 ADC 120 又 ADE CDF 30 EDF 60 当 EDF顺时针旋转时 由旋转的性质 知 EDG FDP GDP EDF 60 11 2012 潍坊 22 10分 如图 已知平行四边形ABCD 过点A作AM BC于点M 交BD于点E 过点C作CN AD于点N 交BD于点F 连接AF CE 1 求证 四边形AECF为平行四边形 2 当AECF为菱形 M点为BC的中点时 求AB AE的值 解 1 证明 AM BC AMB 90 CN AD CNA 90 又 BC AD BCN 90 AMB BCN AE CF AED CFB 又 AD BC ADE CBD 又AD BC ADE CBF AAS AE CF 四边形AECF为平行四边形 2 当四边形AECF为菱形时 如图 连接AC交EF于点O 则AC与EF互相垂直平分 又BO OD AC与BD互相垂直平分 四边形ABCD是菱形 AB BC M是BC的中点 AM BC AB AC ABC为等边三角形 ABC 60 CBD 30 猜押预测 1 如图 在边长为1的菱形ABCD中 DAB 60 连接对角线AC 以AC为边作第二个菱形ACC1D1 使 D1AC 60 连接AC1 再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2 使 D2AC1 60 按此规律所作的第2018个菱形的边长为 B 得分要领 菱形除具有四条边都相等 对角线互相垂直且平分等特有性质外 它还具有平行四边形的所有性质 判定菱形的方法是多样的 其基本思路是先判定这个四边形为平行四边形 然后通过有一组邻边相等或对角线互相垂直判定为菱形 或者直接利用四条边相等进行证明 正方形的性质是潍坊市中考命题的热点 近几年主要以解答题的形式考查 难度较大 一般情况下不单独命题 经常与相似 旋转 圆的知识结合命题 12 2016 潍坊 21 1 4分 链接第21讲六年真题全练第7题 13 2015 潍坊 23 12分 链接第24讲六年真题全练第9题 14 2013 潍坊 22 2 3 7分 链接第24讲六年真题全练第10题 命题点3正方形的性质 猜押预测 2 如图1 四边形ABCD是正方形 点E是AB边的中点 以AE为边作正方形AEFG 连接DE BG 1 发现 线段DE BG之间的数量关系是 直线DE BG之间的位置关系是 2 探究如图2 将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转 1 中的结论是否仍然成立 若成立 请给出证明 若不成立 请说明理由 3 应用如图3 将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周 记直线DE与BG的交点为P 若AB 4 请直接写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值 解 1 DE BG DE BG 2 1 中的结论仍然成