山东省泰安市2016届高三上期末数学试卷(理)含答案解析.doc

2015-2016学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合A=1，2，3，5，B=2，4，6，则图中的阴影部分表示的集合为（）A2B4，6C1，3，5D4，6，7，82设an是公差为正数的等差数列，若a1+a3=10，且a1a3=16，则a11+a12+a13等于（）A75B90C105D1203已知p：0a4，q：函数y=x2ax+a的值恒为正，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4下列命题错误的是（）A如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面B如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平面平面，平面平面，=l，那么l平面D如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面5不等式|x5|+|x+1|8的解集为（）A（，2）B（2，6）C（6，+）D（1，5）6已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于 M、N两点，若M NF2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e为（）ABCD7设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f（x）的图象可能是（）ABCD8已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=ax+xb的零点所在的区间是（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）9已知函数f（x）=2sin（x+）+1（0，|），其图象与直线y=1相邻两个交点的距离为若f（x）1对任意x（，）恒成立，则的取值范围是（）A，B，C，D（，10已知函数f（x）=，若ab，f（a）=f（b），则实数a2b的取值范围为（）ABCD二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11若（0，）且cos2+cos（+2）=，则tan=12直线ax+y+1=0被圆x2+y22ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是13如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为14某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为15规定记号“*”表示一种运算，a*b=a2+ab，设函数f（x）=x*2，且关于x的方程f（x）=ln|x+1|（x1）恰有4个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=三、解答题：本大题共有6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c，且（）求角A（）若，求a的最小值17如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，EFAD，FA面ABCD，AB=AF=EF=1，AD=2，AC交BD于点P（）证明：PF面ECD；（）求二面角BECA的大小18已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且S2=6，S4=30，nN*，数列bn满足bnbn+1=an，b1=1（I）求an，bn；（）求数列bn的前n项和为Tn19如图，是一曲边三角形地块，其中曲边AB是以A为顶点，AC为对称轴的抛物线的一部分，点B到边AC的距离为2km，另外两边AC，BC的长度分别为8km，2km现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区（）求此曲边三角形地块的面积；（）求科技园区面积的最大值20已知椭圆C：的右顶点A（2，0），且过点（）求椭圆C的方程；（）过点B（1，0）且斜率为k1（k10）的直线l于椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3于M，N两点，线段MN的中点为P，记直线PB的斜率为k2，求证：k1k2为定值21已知函数f（x）=lnx+ax在点（t，f（t）处切线方程为y=2x1（）求a的值（）若，证明：当x1时，（）对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x0，使得：2015-2016学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合A=1，2，3，5，B=2，4，6，则图中的阴影部分表示的集合为（）A2B4，6C1，3，5D4，6，7，8【考点】Venn图表达集合的关系及运算【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）B，根据集合的运算求解即可【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合A=1，2，3，5，B=2，4，6，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）B，CUA=4，6，7，8，（CUA）B=4，6故选B2设an是公差为正数的等差数列，若a1+a3=10，且a1a3=16，则a11+a12+a13等于（）A75B90C105D120【考点】等差数列的通项公式【分析】由已知得a1a3，且a1，a3是方程x210x+16=0的两个根，解方程x210x+16=0，得a1=2，a3=8，由此求出公差，从而能求出a11+a12+a13的值【解答】解：an是公差为正数的等差数列，a1+a3=10，且a1a3=16，a1a3，且a1，a3是方程x210x+16=0的两个根，解方程x210x+16=0，得a1=2，a3=8，2+2d=8，解得d=3，a11+a12+a13=3a1+33d=32+333=105故选：C3已知p：0a4，q：函数y=x2ax+a的值恒为正，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据函数的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若函数y=x2ax+a的值恒为正，即x2ax+a0恒成立，则判别式=a24a0，则0a4，则p是q的充要条件，故选：C4下列命题错误的是（）A如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面B如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平面平面，平面平面，=l，那么l平面D如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面【考点】平面与平面之间的位置关系【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的【解答】解：A、如图，平面平面，=l，l，l不垂直于平面，所以不正确；B、如A中的图，平面平面，=l，a，若al，则a，所以正确；C、如图，设=a，=b，在内直线a、b外任取一点O，作OAa，交点为A，因为平面平面，所以OA，所以OAl，作OBb，交点为B，因为平面平面，所以OB，所以OBl，又OAOB=O，所以l所以正确D、若平面内存在直线垂直于平面，根据面面垂直的判定，则有平面垂直于平面，与平面不垂直于平面矛盾，所以，如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面，正确；故选：A5不等式|x5|+|x+1|8的解集为（）A（，2）B（2，6）C（6，+）D（1，5）【考点】绝对值不等式的解法【分析】由条件利用绝对值的意义，求得绝对值不等式|x5|+|x+1|8的解集【解答】解：由于|x5|+|x+1|表示数轴上的x对应点到5、1对应点的距离之和，而数轴上的2和6对应点到5、1对应点的距离之和正好等于8，故不等式|x5|+|x+1|8的解集为（2，6），故选：B6已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于 M、N两点，若M NF2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】把x=c代入椭圆，解得y=由于MNF2为等腰直角三角形，可得=2c，由离心率公式化简整理即可得出【解答】解：把x=c代入椭圆方程，解得y=，MNF2为等腰直角三角形，=2c，即a2c2=2ac，由e=，化为e2+2e1=0，0e1解得e=1+故选C7设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f（x）的图象可能是（）ABCD【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由f（x）的图象可得在y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，即有y轴左侧导数小于0，右侧导数先小于0，再大于0，最后小于0，对照选项，即可判断【解答】解：由f（x）的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，即有导数小于0，可排除C，D；再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数f（x）递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确故选：B8已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=ax+xb的零点所在的区间是（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）【考点】函数的零点；指数函数的图象与性质【分析】根据对数，指数的转化得出f（x）=（log23）x+xlog32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f（0）=1log320，f（1）=log321log32=10，判定即可【解答】解：实数a，b满足2a=3，3b=2，a=log231，0b=log321，函数f（x）=ax+xb，f（x）=（log23）x+xlog32单调递增，f（0）=1log320f（1）=log321log32=10，根据函数的零点判定定理得出函数f（x）=ax+xb的零点所在的区间（1，0），故选：B9已知函数f（x）=2sin（x+）+1（0，|），其图象与直线y=1相邻两个交点的距离为若f（x）1对任意x（，）恒成立，则的取值范围是（）A，B，C，D（，【考点】正弦函数的图象【分析】由题意求得sin（x+）=1，函数y=sin（x+）的图象和直线y=1邻两个交点的距离为，根据周期性求得的值，可得f（x）的解析式再根据当x（，）时，f（x）1，可得sin（2x+）0，故有+2k，且+2k+，由此求得的取值范围【解答】解：函数f（x）=2sin（x+）+1（0，|）的图象与直线y=1相邻两个交点的距离为，令2sin（x+）+1=1，即sin（x+）=1，即 函数y=sin（x+）的图象和直线y=1邻两个交点的距离为，故 T=，求得=2，f（x）=2sin（2x+）+1由题意可得，当x（，）时，f（x）1，即 sin（2x+）0，故有+2k，且+2k+，求得2k+，且2k+，kZ，故的取值范围是2k+，2k+，kZ，结合所给的选项，故选：B10已知函数f（x）=，若ab，f（a）=f（b），则实数a2b的取值范围为（）ABCD【考点】函数的值【分析】由已知得a1，a2b=aea1，再由函数y=ex+a1，（x1）单调递减，能求出实数a2b的范围【解答】解：函数f（x）=，ab，f（a）=f（b），a1，f（a）=ea，f（b）=2b1，且f（a）=f（b），ea=2b1，得b=，a2b=aea1，又函数y=ex+a1（x1）为单调递减函数，a2bf（1）=e1=，实数a2b的范围是（，）故选：B二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11若（0，）且cos2+cos（+2）=，则tan=【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用【分析】首先根据诱导公式和同角三角函数的关系式进行恒等变换，整理成正切函数的关系式，进一步求出正切的函数值【解答】解：cos2+cos（+2）=，则：，则：，整理得：3tan2+20tan7=0，所以：（3tan1）（tan+7）=0解得：tan或tan=7，由于：（0，），所以：故答案为：12直线ax+y+1=0被圆x2+y22ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是2【考点】直线与圆的位置关系【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解【解答】解：圆x2+y22ax+a=0可化为（xa）2+y2=a2a圆心为：（a，0），半径为：圆心到直线的距离为：d=直线ax+y+1=0被圆x2+y22ax+a=0截得的弦长为2，a2+1+1=a2a，a=2故答案为：213如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为【考点】简单线性规划【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=x+y为y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为故答案为：14某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由正视图可得：底面扇形的圆心角为120，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，几何体的体积V=224=故答案为：15规定记号“*”表示一种运算，a*b=a2+ab，设函数f（x）=x*2，且关于x的方程f（x）=ln|x+1|（x1）恰有4个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=4【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由题意可得f（x）=x2+2x，可得图象关于x=1对称，由函数图象的变换可得函数y=ln|x+1|（x1）的图象关于直线x=1对称，进而可得四个根关于直线x=1对称，由此可得其和【解答】解：由题意可得f（x）=x*2=x2+2x，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=1，函数y=ln|x+1|可由y=ln|x|向左平移1个单位得到，而函数函数y=ln|x|为偶函数，图象关于y轴对称，故函数y=ln|x+1|的图象关于直线x=1对称，故方程为f（x）=ln|x+1|（x1）四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，也关于直线x=1对称，不妨设x1与x2对称，x3与x4对称，必有x1+x2=2，x3+x4=2，故x1+x2+x3+x4=4，故答案为：4三、解答题：本大题共有6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c，且（）求角A（）若，求a的最小值【考点】正弦定理【分析】（）由正弦定理化简已知可得sinAsinB=sinBcosA，又sinB0，从而可求tanA，由于0A，即可解得A的值（）利用平面向量数量积的运算和余弦定理化简已知等式可得bc=8，利用余弦定理及基本不等式即可求得a的最小值【解答】（本题满分为12分）解：（）因为，由正弦定理，得sinAsinB=sinBcosA，又sinB0，从而tanA=，由于0A，所以A=4分（）由题意可得：=+（）=+=c2+b2bccosAa2=2bccosAbccosA=bc=4，bc=8，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA=b2+c2bc2bcbc=bc=8，a2，a的最小值为12分17如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，EFAD，FA面ABCD，AB=AF=EF=1，AD=2，AC交BD于点P（）证明：PF面ECD；（）求二面角BECA的大小【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）取CD中点G，连结EG、PG，推导出四边形EFPG是平行四边形，由此能证明FP平面ECD（）以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角BECA的大小【解答】证明：（）取CD中点G，连结EG、PG，点P为矩形ABCD对角线交点，在ACD中，PGAD，又EF=1，AD=2，EFAD，EFPG，四边形EFPG是平行四边形，FPEG，又FP平面ECD，EG平面ECD，FP平面ECD解：（）由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则F（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），E（0，1，1），=（0，2，0），=（1，1，1），=（1，2，0），取FB中点H，连结AH，则=（），=0， =0，AH平面EBC，故取平面AEC法向量为=（），设平面AEC的法向量=（x，y，1），则，=（2，1，1），cos=，二面角BECA的大小为18已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且S2=6，S4=30，nN*，数列bn满足bnbn+1=an，b1=1（I）求an，bn；（）求数列bn的前n项和为Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）设正项等比数列an的公比为q（q0），由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比均为2，可得an=a1qn1=2n；再由n换为n+1，可得数列bn中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，运用等比数列的通项公式，即可得到所求bn；（）讨论n为奇数和偶数，运用分组求和和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和【解答】解：（I）设正项等比数列an的公比为q（q0），由题意可得a1+a1q=6，a1+a1q+a1q2+a1q3=30，解得a1=q=2（负的舍去），可得an=a1qn1=2n；由bnbn+1=an=2n，b1=1，可得b2=2，即有bn+1bn+2=an=2n+1，可得=2，可得数列bn中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，即有bn=；（）当n为偶数时，前n项和为Tn=（1+2+.+）+（2+4+.+）=+=3（）n3；当n为奇数时，前n项和为Tn=Tn1+=3（）n13+=（）n+33综上可得，Tn=19如图，是一曲边三角形地块，其中曲边AB是以A为顶点，AC为对称轴的抛物线的一部分，点B到边AC的距离为2km，另外两边AC，BC的长度分别为8km，2km现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区（）求此曲边三角形地块的面积；（）求科技园区面积的最大值【考点】扇形面积公式；弧度制的应用【分析】（）以AC所在的直线为y轴，A为坐标原点建立平面直角坐标系，求出曲边AB所在的抛物线方程，利用积分计算曲边三角形ABC地块的面积；（）设出点D为（x，x2），表示出|DF|、|DE|与|CF|的长，求出直角梯形CEDF的面积表达式，利用导数求出它的最大值即可【解答】解：（）以AC所在的直线为y轴，A为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，如图所示；则A（0，0），C（0，8），设曲边AB所在的抛物线方程为y=ax2（a0），则点B（2，4a），又|BC|=2，解得a=1或a=3（此时4a=128，不合题意，舍去）；抛物线方程为y=x2，x0，2；又x2=x3=，此曲边三角形ABC地块的面积为S梯形ACBMx2=（8+4）2=；（）设点D（x，x2），则F（0，x2），直线BC的方程为：2x+y8=0，E（x，82x），|DF|=x，|DE|=82xx2，|CF|=8x2，直角梯形CEDF的面积为S（x）=x（82xx2）+（8x2）=x3x2+8x，x（0，2），求导得S（x）=3x22x+8，令S（x）=0，解得x=或x=2（不合题意，舍去）；当x（0，）时，S（x）单调递增，x（，2）时，S（x）单调递减，x=时，S（x）取得最大值是S（）=+8=；科技园区面积S的最大值为20已知椭圆C：的右顶点A（2，0），且过点（）求椭圆C的方程；（）过点B（1，0）且斜率为k1（k10）的直线l于椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3于M，N两点，线段MN的中点为P，记直线PB的斜率为k2，求证：k1k2为定值【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由题意可得a=2，代入点，解方程可得椭圆方程；（）设过点B（1，0）的直线l方程为：y=k（x1），由，可得（4k12+1）x28k12x+4k124=0，由已知条件利用韦达定理推导出直线PB的斜率k2=，由此能证明kk为定值【解答】解：（）由题意可得a=2， +=1，a2b2=c2，解得b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（）证明：设过点B（1，0）的直线l方程为：y=k1（x1），由，可得：（4k12+1）x28k12x+4k124=0，因为点B（1，0）在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，即0恒成立设点E（x1，y1），F（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=因为直线AE的方程为：y=（x2），直线AF的方程为：y=（x2），令x=3，得M（3，），N（3，），所以点P的坐标（3，（+）直线PB的斜率为k2=（+）=所以k1k2为定值21已知函数f（x）=lnx+ax在点（t，f（t）处