【志鸿全优设计】八年级数学上册 第一章 2一定是直角三角形吗例题与讲解 北师大版.doc

2一定是直角三角形吗1勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形(2)勾股定理的逆定理的释疑：不少的同学对知道三角形三边满足a2b2c2能得到直角三角形这样的一种结论持有怀疑的态度，其实通过三角形的全等可以很简单地证明出来比如：如果在abc中，abc，bca，cab，并且满足a2b2c2(如图所示)，那么c90.作a1b1c1，使c190，b1c1a，c1a1b，则a1ba2b2.a2b2c2，a1b1c(a1b10)在abc和a1b1c1中，bcab1c1，cabc1a1，abca1b1，abca1b1c1.cc190.辨误区 勾股定理的逆定理的条件(1)不能说成在直角三角形中，因为还没有确定直角三角形，当然也不能说“斜边”和“直角边”(2)当满足a2b2c2时，c是斜边，c是直角利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形对啊！到目前为止判定直角三角形的方法有：说明三角形中有一个直角；说明三角形中有两边互相垂直；勾股定理的逆定理.【例1】 如图所示，c90，ac3，bc4，ad12，bd13，问：adab吗？试说明理由解：adab.理由：根据勾股定理得ab5.在abd中，ab2ad252122169，bd2132169，所以ab2ad2bd2.由勾股定理的逆定理知abd为直角三角形，且bad90.故adab.2勾股定理的逆定理与勾股定理的关系勾股定理是通过“形”的状态来反映“数”的关系的，而勾股定理的逆定理是通过“数”的关系来反映“形”的状态的(1)勾股定理是直角三角形的性质定理，勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，二者是互逆的(2)联系：两者都与a2b2c2有关，两者所讨论的问题都是直角三角形问题(3)区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系“a2b2c2”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2b2c2”为条件，进而得到这个三角形是“直角三角形”(4)二者关系可列表如下：定理勾股定理勾股定理的逆定理内容如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2如果三角形的三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形题设直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c三角形的三边长a，b，c满足a2b2c2结论a2b2c2三角形是直角三角形用途是直角三角形的一个性质判定直角三角形的一种方法【例2】 如图，在abc中，d为bc边上的点，已知：ab13，ad12，ac15，bd5，求dc.分析：先用勾股定理的逆定理判定形状，然后用勾股定理求数据解：ad2bd212252132ab2，由勾股定理的逆定理知adb为直角三角形adbc.在rtadc中，由勾股定理，得dc2ac2ad215212292.dc9.3勾股数勾股数：满足a2b2c2的三个正整数，称为勾股数(1)由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：满足a2b2c2；都是正整数两者缺一不可(2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2b2c2(但不一定是勾股数)，以它们为边长的三角形是直角三角形，比如以0.3 cm,0.4 cm,0.5 cm为边长的三角形是直角三角形【例3】 7,24,25；8,15,19；0.6,0.8,1.0；3n,4n,5n(n1，且为自然数)上面各组数中，勾股数有_组()a1 b2 c3 d4解析：72242252，且7,24,25都是正整数，7,24,25是勾股数82152192，8,15,19不是勾股数0.6,0.8,1.0不是正整数，0.6，0.8，1.0不是勾股数(3n)2(4n)225n2(5n)2(n1，且为自然数)，且它们都是正整数，3n,4n,5n(n1，且为自然数)是勾股数.答案：b析规律 勾股数的判断方法判断勾股数要看两个条件，一看能否满足a2b2c2，二看是否都是正整数这两者缺一不可4勾股定理的逆定理的应用勾股定理的逆定理在解决实际问题中有着广泛的应用，可以用它来判定是不是直角家里建房时，常需要在现场画出直角，在没有测量角的仪器的情况下，工人师傅常常利用勾股定理的逆定理作出直角【例4】 如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现abdc8 m，adbc6 m，ac9 m，请你帮他看一下，挖的地基是否合格？分析：本题是数学问题在生活中的实际应用，所以我们要把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判定条件，来判断它是否为直角三角形解：ad2dc26282100，ac29281，ad2dc2ac2.adc不是直角三角形，adc90.又按标准应为长方形，四个角应为直角，该农民挖的地基不合格5利用非负数的性质判定三角形的形状在由一个等式求三角形的三边长时，往往先把等式化为a2b2c20的形式，再由a0，b0，c0，求得三角形三边之长，利用计算来判断abc是否是直角三角形谈重点 判定三角形的形状由条件等式来判断三角形的形状，就是将已知的条件等式变形，再根据它的结构特点，得出a，b，c的关系，从而判断三角形的形状【例5】 如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2b2c233810a24b26c，试说明这个三角形是直角三角形分析：本题需要将已知等式进行变形，配成完全平方式，求出a，b，c的值，然后再说明解：将式子变形，得a2b2c233810a24b26c0，即a210a25b224b144c226c1690.整理，得(a5)2(b12)2(c13)20.因此a50，b120，c130，a5，b12，c13.a2b252122132c2，这个三角形是直角三角形6勾股定理及其逆定理的综合应用(1)利用勾股定理解决生活中的实际问题时，关键是利用转化的思想把实际问题转化为数学模型(直角三角形)来解决(2)综合运用勾股定理及其逆定理，将不规则图形转化为规则图形是常用的数学方法，在这里，一方面要熟记常用的勾股数；另一方面要注意到：如果一个三角形的三边长已知或具有某些比例关系，那么就可以用勾股定理的逆定理去验证其是否是直角三角形 【例6】 如图所示，在四边形abcd中，ad3 cm，ab4 cm，bad90，bc12 cm，cd13 cm.求四边形abcd的面积分析：根据ad3 cm，ab4 cm，bad90，可连接bd构成直角三角形，通过判断bcd是直角三角形解决