【导与练】高考数学 试题汇编 第五节 二次函数、函数与方程、函数模型及其应用 理（含解析）.doc

第五节二次函数、函数与方程、函数模型及其应用 二次函数考向聚焦二次函数是高考的重点内容,主要考查二次函数的图象与性质应用,特别是二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的联系及应用,同时对数形结合、函数与方程等数学思想方法的考查也蕴含其中.对二次函数的考查主要以选择题、填空题的形式出现,多为中档题,所占分值为5分左右1.(2011年天津卷,理8)对实数a和b,定义运算“”:ab=a,a-b1,b,a-b1.设函数f(x)=(x2-2)(x-x2),xr,若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是()(a)(-,-2(-1,32)(b)(-,-2(-1,-34)(c)(-1,14)(14,+)(d)(-1,-34)14,+)解析:f(x)=x2-2(-1x32)x-x2(x32),y=f(x)的图象如图.由图可知当c-2或-1c0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是()解析:由abc0知,当c0时ab0,f(0)=c0,对称轴x=-b2a0无对应选项;当c0时,ab0,f(0)=c0,由图象知选d.答案:d.3.(2012年陕西卷,理13,5分)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽米.解析:如图,建立平面直角坐标系,设c(0,2),a(-2,0),b(2,0)则抛物线y=ax2+bx+c(a0)满足:c=24a-2b+c=04a+2b+c=0得a=-12,b=0,c=2y=-12x2+2.设水位下降1米,至线段ef处时,f(x,-1),代入上式:-1=-12x2+2,x=6,有|ef|=26.答案:26函数的零点与方程的根考向聚焦函数的零点与方程的根是高考的一个热点内容,近几年高考在这个考点上常考常新,主要从以下几个方面进行考查:一是求函数零点的个数(可能是具体函数也可能是抽象函数);二是判断函数零点(方程的根)所在的区间;三是已知函数零点(方程的根)的个数或范围,求解析式中参数的取值范围.一般以选择题或填空题的形式出现,所占分值为5分左右备考指津要强化这个考点以上三个方面的训练,同时要注意数形结合思想、函数与方程思想以及分类讨论思想方法的训练与应用4.(2012年湖北卷,理9,5分)函数f(x)=xcos x2在区间0,4上的零点个数为()(a)4(b)5(c)6(d)7解析:令f(x)=0,得x=0或cos x2=0,因为x0,4,所以x20,16.由于cos(2+k)=0(kz),故当x2=2,32,52,72,92时,cos x2=0.所以零点个数为6.答案:c. 求解函数的零点个数通常有两种方法:一、直接法,即求解出所有的零点,再来数其个数;二、数形结合法,即转化为函数的图象与x轴的交点个数,此法适用于零点的具体值不好求解时,本题用的就是第一种方法.5.(2012年天津卷,理4,5分)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()(a)0(b)1(c)2(d)3解析:由f(x)=2x+x3-2=0得:2x=-x3+2,令h(x)=-x3+2,则h(x)=-3x20,h(x)在(0,1)上单调递减,h(x)(1,2),在同一坐标系内画出y=2x与h(x)=-x3+2的图象知,其图象在(0,1)上只有一个交点,故f(x)=2x+x3-2在(0,1)上只有1个零点.故选b.答案:b.6.(2012年辽宁卷,理11,5分)设函数f(x)(xr)满足f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当x0,1时,f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos(x)|,则函数h(x)=g(x)-f(x)在-12,32上的零点个数为()(a)5(b)6(c)7(d)8解析:由f(-x)=f(x)知y=f(x)为偶函数,由f(x)=f(2-x)知y=f(x)关于直线x=1对称,由f(-x)=f(2-x)知y=f(x)的周期t=2.g(x)=|xcos(x)|=-xcos(x)(-12x0)xcos(x)(0x12)-xcos(x)(12x32)h(x)=g(x)-f(x)的零点个数等价于y=f(x)与y=g(x)的图象交点个数.作出图象易知选b.答案:b.7.(2011年陕西卷,理6)函数f(x)=x-cos x在0,+)内()(a)没有零点(b)有且仅有一个零点(c)有且仅有两个零点(d)有无穷多个零点解析:在同一坐标系中作出函数y=x(x0)及y=cos x(x0)的图象,数形结合知两个函数的图象只有一个交点,所以函数f(x)=x-cos x在0,+)内有且只有一个零点.故选b.答案:b.8.(2010年天津卷,理2)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是()(a)(-2,-1)(b)(-1,0)(c)(0,1)(d)(1,2)解析:f(-1)f(0)0的零点个数为()(a)0(b)1(c)2(d)3解析:x0时,f(x)=0x2+2x-3=0,x=-3(x=1舍去).x0时,f(x)=0-2+ln x=0,x=e2.因此函数共有两个零点.故选c.答案:c.10.(2011年山东卷,理16)已知函数f(x)=1ogax+x-b(a0,且a1).当2a3b4时,函数f(x)的零点x0(n,n+1),nn*,则n=.解析:对函数f(x),2a3b4,f(2)=loga2+2-b1+2-b=3-b1+3-b=4-b0.即f(2)f(3)0在(12,1)上恒成立,fn(x)在(12,1)上单调递增,又当n2且nn+时,fn(12)=(12)n-120,fn(12)f(1)0,fn(x)在区间(12,1)内存在唯一的零点.解:(2)当n=2时,f2(x)=x2+bx+cx1、x2-1,1,有|f2(x1)-f2(x2)|4成立,等价于:f2(x)max-f2(x)min4下面只需求f2(x)在-1,1上的最值即可.f2(x)的对称轴方程为:x=-b2当-b2-1,即b2时,f2(x)在-1,1上递增,f2(x)max-f2(x)min=f2(1)-f2(-1)=(1+b+c)-(1-b+c)=2b4,b2,综上b=2,当-1-b20,即0bf(-1),f2(x)max-f2(x)min=f2(1)-f(-b2)=(1+b+c)-(b24-b22+c)=1+b+b244,b2+4b-120,-6b2,综上:0b2.当0-b21,即-2bf(1),f2(x)max-f2(x)min=f2(-1)-f(-b2)=(1-b+c)-(b24-b22+c)=1-b+b244,b2-4b-120,-2b6,综上:-2b1,即b-2时,f2(x)在-1,1上单调递减,f2(x)max-f2(x)min=f2(-1)-f2(1)=(1-b+c)-(1+b+c)=-2b4,b-2.综上: 综上所述:-2b2.(3)该数列为递增数列.法一:设xn是fn(x)=xn+x-1在(12,1)内的唯一零点(n2)fn(xn)=xnn+xn-1=0fn+1(xn+1)=xn+1n+1+xn+1-1=0,xn+1(12,1)由于xn+1n+1xn+1n,所以fn+1(xn+1)=xn+1n+1+xn+1-1xn+1n+xn+1-1=fn(xn+1)fn+1(xn+1)=fn(xn)fn(xn+1)由(1)知,fn(x)在(12,1)上单调递增,xnxn+1(n2)数列x2、x3、x4、xn、是递增数列.法二:设xn是fn(x)=xn+x-1在(12,1)内的唯一零点.fn+1(xn)fn+1(1)=(xnn+1+xn-1)(1n+1+1-1)=xnn+1+xn-1xnn+xn-1=0fn+1(x)的零点xn+1在(xn,1)内,有xn0),l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点a,b,l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点c,d.记线段ac和bd在x轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时,ba的最小值为()(a)162(b)82(c)834(d)434解析:如图所示,由-log2xa=m,xa=(12)m,log2xb=m,xb=2m,-log2xc=82m+1,xc=(12)82m+1,log2xd=82m+1,xd=282m+1所以,a=|xa-xc|=|(12)m-(12)82m+1|,b=|xd-xb|=|2m-282m+1|,ba=|2m-282m+1|(12)m-(12)82m+1|=2m282m+1=2m+82m+1设u=m+82m+1=12(2m+1)+82m+1-1222-12=72(当且仅当12(2m+1)=82m+1,即m=32时,等号成立)所以ba=2m+82m+1272=82,故选b.答案:b. 在研究函数时数形结合,求ba的最小值,先建立ba的关系式,再利用求最值的方法求解.13.(2012年福建卷,理10,5分)函数f(x)在a,b上有定义,若对任意x1,x2a,b,有f(x1+x22)12f(x1)+f(x2),则称f(x)在a,b上具有性质p.设f(x)在1,3上具有性质p,现给出如下命题:f(x)在1,3上的图象是连续不断的;f(x2)在1,3上具有性质p;若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x1,3;对任意x1,x2,x3,x41,3,有f(x1+x2+x3+x44)14f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4).其中真命题的序号是()(a)(b)(c)(d)解析:本小题主要考查函数性质的应用与知识迁移能力,对,若x11,3,使f(x1)1,则f(x1)1且x12,则一定存在x21,3,使得x1+x22=2,又f(x2)1,f(x1)+f(x2)2,据性质p得f(x1+x22)12f(x1)+f(x2),即f(x1)+f(x2)2f(x1+x22)=f(2)=2,这显然与f(x1)+f(x2)2矛盾,假设不成立,即x1,3,f(x)=1;对,f(x1+x2+x3+x44)=f(x1+x22+x3+x422)12f(x1+x22)+f(x3+x42),又f(x1+x22)12f(x1)+f(x2),f(x3+x42)12f(x3)+f(x4),f(x1+x22)+f(x3+x42)12f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4),f(x1+x2+x3+x44)14f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4).故选d.答案:d. 本题中的信息实质上是凹函数的性质,在应用中可借助某些函数如指数函数、一次函数等,若结合图象则易判定为假.均为全称命题,其真假判定分别采用了反证法与综合法,考查了知识的灵活运用.14.(2010年陕西卷,理10)某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表,那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=x( x表示不大于x的最大整数)可以表示为()(a)y=x10(b)y=x+310(c)y=x+410(d)y=x+510解析:法一:特殊取值法,若x=56,y=5,排除c、d,若x=57,y=6,排除a,所以选b.法二:设x=10m+a(0a9),0a6时,x+310=m+a+310=m=x10,当61或x-1)-x-1(-1x0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.解:(1)令y=0,得kx-120(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x0,k0,故x=20k1+k2=20k+1k202=10,当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a0,所以炮弹可击中目标存在k0,使3.2=ka-120(1+k2)a2成立关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根判别式=(-20a)2-4a2(a2+64)0a6.所以当a不超过6千米时,可击中目标. 本题把函数、不等式放在应用题中,设计新颖,考法独特.17.(2012年湖南卷,理20,13分)某企业接到生产3000台某产品的a,b,c三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产a部件6件,或b部件3件,或c部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产b部件的人数与生产a部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).(1)设生产a部件的人数为x,分别写出完成a,b,c三种部件生产需要的时间;(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.解:(1)设完成a,b,c三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为t1(x),t2(x),t3(x),由题设有t1(x)=230006x=1000x,t2(x)=2000kx,t3(x)=1500200-(1+k)x,其中x,kx,200-(1+k)x均为1到200之间的正整数.(2)完成订单任务的时间为f(x)=maxt1(x),t2(x),t3(x),其定义域为x|0x2001+k,xn*,易知,t1(x),t2(x)为减函数,t3(x)为增函数,注意到t2(x)=2kt1(x),于是当k=2时,t1(x)=t2(x),此时f(x)=maxt1(x),t3(x)=max1000x,1500200-3x.由函数t1(x),t3(x)的单调性知,当1000x=1500200-3x时f(x)取得最小值,解得x=4009.由于44400945,而f(44)=t1(44)=25011,f(45)=t3(45)=30013,f(44)2时,t1(x)t2(x),由于k为正整数,故k3,此时1500200-(1+k)x1500200-(1+3)x=37550-x.记t(x)=37550-x, (x)=maxt1(x),t(x),易知t(x)是增函数,则f(x)=maxt1(x),t3(x)maxt1(x),t(x)= (x)=max1000x,37550-x.由函数t1(x),t(x)的单调性知,当1000x=37550-x时 (x)取最小值,解得x=40011.由于364001125011, (37)=t(37)=3751325011.此时完成订单任务的最短时间大于25011.当k2时,t1(x)t2(x),由于k为正整数,故k=1,此时f(x)=maxt2(x),t3(x)=max2000x,750100-x.由函数t2(x),t3(x)的单调性知,当2000x=750100-x时f(x)取最小值,解得x=80011,类似(1)的讨论,此时完成订单任务的最短时间为2509,大于25011.综上所述,当k=2时,完成订单任务的时间最短,此时,生产a,b,c三种部件的人数分别为44,88,68.18.(2011年湖北卷,理17)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下.大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时,研究表明:当20x200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0x200时,求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=xv(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/时)解:(1)由题意:当0x20时,v(x)=60;当20x200时,设v(x)=ax+b(a0,a、b为常数),再由已知得200a+b=0,20a+b=60,解得a=-13b=2003.故函数v(x)的表达式为v(x)=60,0x20,13(200-x),20x200.(2)依题意并由(1)可得f(x)=60x,0x20,13x(200-x),20x200.当0x0),雨速沿e移动方向的分速度为c(cr).e移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:(1)p或p的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|s成正比,比例系数为110;(2)其他面的淋雨量之和,其值为12.记y为e移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积s=32时,(1)写出y的表达式;(2)设0v10,0c5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,