高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7_4 基本不等式及其应用课件 文 新人教版

7 4基本不等式及其应用 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 基本不等式成立的条件 2 等号成立的条件 当且仅当时取等号 知识梳理 a 0 b 0 a b 2 几个重要的不等式 1 a2 b2 a b R 2ab 2 3 ab a b R 以上不等式等号成立的条件均为a b 设a 0 b 0 则a b的算术平均数为 几何平均数为 基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 3 算术平均数与几何平均数 4 利用基本不等式求最值问题 已知x 0 y 0 则 1 如果积xy是定值p 那么当且仅当时 x y有最值 简记 积定和最小 x y 小 2 如果和x y是定值p 那么当且仅当时 xy有最值 简记 和定积最大 x y 大 不等式的恒成立 能成立 恰成立问题 1 恒成立问题 若f x 在区间D上存在最小值 则不等式f x A在区间D上恒成立 若f x 在区间D上存在最大值 则不等式f x A成立 若f x 在区间D上存在最小值 则在区间D上存在实数x使不等式f x B成立 f x min A x D f x max B x D f x max A x D f x min B x D 3 恰成立问题 不等式f x A恰在区间D上成立 f x A的解集为D 不等式f x B恰在区间D上成立 f x B的解集为D 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 教材改编 设x 0 y 0 且x y 18 则xy的最大值为A 80B 77C 81D 82 考点自测 答案 解析 答案 解析 3 若a 0 b 0 且a b 4 则下列不等式恒成立的是 答案 解析 4 若实数x y满足xy 1 则x2 2y2的最小值为 答案 解析 5 教材改编 若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地 则矩形场地的最大面积是 m2 答案 解析 25 题型分类深度剖析 题型一利用基本不等式求最值 命题点1通过配凑法利用基本不等式 答案 解析 1 答案 解析 答案 解析 例2已知a 0 b 0 a b 1 则的最小值为 命题点2通过常数代换法利用基本不等式 答案 解析 4 引申探究 解答 解答 解答 思维升华 1 应用基本不等式解题一定要注意应用的前提 一正 二定 三相等 所谓 一正 是指正数 二定 是指应用基本不等式求最值时 和或积为定值 三相等 是指满足等号成立的条件 2 在利用基本不等式求最值时 要根据式子的特征灵活变形 配凑出积 和为常数的形式 然后再利用基本不等式 3 条件最值的求解通常有两种方法 一是消元法 即根据条件建立两个量之间的函数关系 然后代入代数式转化为函数的最值求解 二是将条件灵活变形 利用常数 1 代换的方法构造和或积为常数的式子 然后利用基本不等式求解最值 跟踪训练1 1 若正数x y满足x 3y 5xy 则3x 4y的最小值是 答案 解析 5 3x 4y的最小值是5 当且仅当y 时等号成立 3x 4y min 5 2 已知x y 0 2x 3 y 若 m 0 的最小值为3 则m 答案 解析 4 由2x 3 y得x y 3 解得m 4 题型二基本不等式的实际应用 例3某厂家拟在2016年举行促销活动 经调查测算 该产品的年销量 即该厂的年产量 x万件与年促销费用m m 0 万元满足x 3 k为常数 如果不搞促销活动 那么该产品的年销量只能是1万件 已知2016年生产该产品的固定投入为8万元 每生产一万件该产品需要再投入16万元 厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1 5倍 产品成本包括固定投入和再投入两部分资金 1 将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数 解答 由题意知 当m 0时 x 1 万件 1 3 k k 2 x 3 2 该厂家2016年的促销费用投入多少万元时 厂家利润最大 y 8 29 21 解答 故该厂家2016年的促销费用投入3万元时 厂家的利润最大为21万元 思维升华 1 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数 2 根据实际问题抽象出函数的解析式后 只需利用基本不等式求得函数的最值 3 在求函数的最值时 一定要在定义域 使实际问题有意义的自变量的取值范围 内求解 跟踪训练2 1 某车间分批生产某种产品 每批的生产准备费用为800元 若每批生产x件 则平均仓储时间为天 且每件产品每天的仓储费用为1元 为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小 每批应生产产品 件 答案 解析 80 2 某公司购买一批机器投入生产 据市场分析 每台机器生产的产品可获得的总利润y 单位 万元 与机器运转时间x 单位 年 的关系为y x2 18x 25 x N 则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是 万元 8 答案 解析 题型三基本不等式的综合应用 命题点1基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例4 1 2016 菏泽一模 已知直线ax by c 1 0 b c 0 经过圆x2 y2 2y 5 0的圆心 则的最小值是A 9B 8C 4D 2 答案 解析 圆x2 y2 2y 5 0化成标准方程 得x2 y 1 2 6 所以圆心为C 0 1 因为直线ax by c 1 0经过圆心C 所以a 0 b 1 c 1 0 即b c 1 因为b c 0 2 2016 山西忻州一中等第一次联考 设等差数列 an 的公差是d 其前n项和是Sn 若a1 d 1 则的最小值是 答案 解析 命题点2求参数值或取值范围 答案 解析 m 12 m的最大值为12 答案 解析 设g x x x N 则g 2 6 g 3 对任意x N f x 3恒成立 即 3恒成立 即知a x 3 思维升华 1 应用基本不等式判断不等式是否成立 对所给不等式 或式子 变形 然后利用基本不等式求解 2 条件不等式的最值问题 通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解 3 求参数的值或范围 观察题目特点 利用基本不等式确定相关成立条件 从而得参数的值或范围 跟踪训练3 1 2016 福建四地六校联考 已知函数f x x 2的值域为 0 4 则a的值是 答案 解析 几何画板展示 答案 解析 由各项均为正数的等比数列 an 满足a7 a6 2a5 可得a1q6 a1q5 2a1q4 所以q2 q 2 0 解得q 2或q 1 舍去 因为 4a1 所以qm n 2 16 所以2m n 2 24 所以m n 6 又m n 6 解得m 2 n 4 符合题意 利用基本不等式求最值 现场纠错系列9 利用基本不等式求最值时要注意条件 一正二定三相等 多次使用基本不等式要验证等号成立的条件 错解展示 现场纠错 纠错心得 返回 解析 1 x 0 y 0 返回 课时作业 1 已知a b R 且ab 0 则下列结论恒成立的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为a b R时 都有a2 b2 2ab a b 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为lg2x lg8y lg2 所以x 3y 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 若2x 2y 1 则x y的取值范围是A 0 2 B 2 0 C 2 D 2 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 已知x 0 y 0 且4xy x 2y 4 则xy的最小值为 答案 解析 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当且仅当a 5c 0 ab 1 a a b 1时 等号成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 2016 唐山一模 已知x y R且满足x2 2xy 4y2 6 则z x2 4y2的取值范围为 答案 解析 4 12 9 2016 潍坊模拟 已知a b为正实数 直线x y a 0与圆 x b 2 y 1 2 2相切 则的取值范围是 答案 解析 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x y a 0与圆 x b 2 y 1 2 2相切 a b 1 2 即a b 1 又 a b为正实数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 答案 解析 11 2017 东莞调研 函数y loga x 3 1 a 0 且a 1 的图象恒过定点A 若点A在直线mx ny 1 0上 其中m n均大于0 则的最小值为 答案 解析 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 已知x 0 y 0 且2x 5y 20 1 求u lgx lgy的最大值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 此时xy有最大值10 u lgx lgy lg xy lg10 1 当x 5 y 2时 u lgx lgy有最大值1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x 0 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 经市场调查 某旅游城市在过去的一个月内 以30天计 第t天 1 t 30 t N 的旅游人数f t 万人 近似地满足f t 4 而人均消费g t 元 近似地满足g t 120 t 20 1 求该城市的旅游日收益W t 万元 与时间t 1 t 30 t N 的函数关系式 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 求该城市旅游日收益的最小值