学案6 指数函数.ppt

学案6指数函数 指数函数 1 对指数幂运算的考查虽然鲜见单独命题 但是在考查指数函数时总有幂的运算 是学生基本运算能力的重要体现 是历年高考的内容 对于该部分内容的复习 要注意算法的优化 保证考试中运算迅速准确 2 对指数函数的考查 大多以基本函数的性质为依托 结合运算 考查函数的图象 性质以及灵活运用函数性质进行大小比较 方程 不等式求解等 有时还需要利用指数函数的基本性质研究简单复合函数的单调性 奇偶性等性质 要熟练掌握指数幂的运算法则 明确算理 能对常见的指数型函数进行变形处理 1 指数幂的概念 1 根式一般地 如果xn a a R n 1 且n N 那么x叫做 式子叫做 这里n叫做 a叫做 2 根式的性质 a的n次方根 根式 根指数 被开方数 当n为奇数时 正数的n次方根是一个正数 负数的n次方根是一个负数 这时 a的n次方根用符号表示 当n为偶数时 正数的n次方根有两个 它们互为相反数 这时 正数的正的n次方根用符号表示 负的n次方根用符号表示 正负两个n次方根可以合写为 a 0 n 当n为奇数时 当n为偶数时 a 负数没有偶次方根 零的任何次方根都是零 a a a a 0 a a 0 2 有理指数幂 1 分数指数幂的表示 正数的正分数指数幂是 a 0 m n N 且n 1 正数的负分数指数幂是 0的正分数指数幂等于 0的负分数指数幂没有意义 2 有理指数幂的运算性质 aras a 0 r s Q ar s a 0 r s Q ab r a 0 b 0 r Q a 0 m n N 且n 1 ars 3 指数函数的图象与性质 R 0 0 1 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 增函数 减函数 考点1指数幂的化简与求值 化简下列各式 其中各字母均为正数 1 原式 2 原式 分析 1 因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂 先化为分数指数幂以便用法则运算 2 3 题目中给出的是分数指数幂 先看其是否符合运算法则的条件 若符合用法则进行下去 若不符合应再创设条件去求 3 原式 评析 一般地 进行指数幂运算时 化负指数为正指数 化根式为分数指数幂 化小数为分数运算 同时还要注意运算顺序问题 化简下列各式 解析 1 原式 2 原式 考点2指数函数的图象 已知函数 1 作出图象 2 由图象指出其单调区间 3 由图象指出 当x取什么值时有最值 分析 先去绝对值符号 将函数写成分段函数的形式 再画出其图象 然后根据图象判断其单调性 最值 解析 1 由函数解析式可得 x 2 x 2 其图象分成两部分 一部分是y x 2 的图象 由下列变换可得到 y y 向左平移2个单位 另一部分是y 2x 2 x 2 的图象 由下列变换可得到 y 2xy 2x 2 如图 实线部分为函数的图象 2 由图象观察知 函数在 2 上是增函数 在 2 上是减函数 3 由图象观察知 当x 2时 函数有最大值 最大值为1 没有最小值 向左平移2个单位 评析 根据函数与基本函数关系 利用图象变换 平移 伸缩 对称 作图是作函数图象的常用方法 若曲线 y 2x 1与直线y b没有公共点 则b的取值范围为 解 画出曲线 y 2x 1与直线y b的图象如图所示 由图象可得 y 2x 1与直线y b没有公共点 则b应满足的条件是b 1 1 1 1 考点3指数函数的性质 已知f x a 0且a 1 1 判断f x 的奇偶性 2 讨论f x 的单调性 3 当x 1 1 时 f x b恒成立 求b的取值范围 分析 1 首先看函数的定义域而后用奇偶性定义判断 2 单调性利用复合函数单调性易于判断 还可用导数解决 3 恒成立问题关键是探求f x 的最小值 解析 1 函数定义域为R 关于原点对称 又 f x f x f x 为奇函数 2 当a 1时 a2 1 0 y ax为增函数 y a x为减函数 从而y ax a x为增函数 f x 为增函数 当00 且a 1时 f x 在定义域内单调递增 3 由 2 知f x 在R上是增函数 在区间 1 1 上为增函数 f 1 f x f 1 f x min f 1 要使f x b在 1 1 上恒成立 则只需b 1 故b的取值范围是 1 评析 1 与指数函数有关的复合函数的定义域 值域的求法 1 函数y af x 的定义域与y f x 的定义域相同 2 先确定f x 的值域 再根据指数函数的值域 单调性 可确定y af x 的值域 2 与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 1 求复合函数的定义域 2 弄清函数是由哪些基本函数复合而成的 3 分层逐一求解函数的单调性 4 求出复合函数的单调区间 注意 同增异减 若函数y 为奇函数 1 求a的值 2 求函数的定义域 3 求函数的值域 4 讨论函数的单调性 解析 函数y y 1 由奇函数的定义 可得f x f x 0 即 0 0 a 2 y 2x 1 0 即x 0 函数y 的定义域为 x x 0 3 解法一 x 0 2x 1 1 2x 1 0 0 2x 1 1或2x 1 0 或 即函数的值域为 y y 或y0 0 可得y 或y或y 4 当x 0时 设00 0 y1 y2 0 因此y 在 0 上单调递增 同样可以得出y 在 0 上单调递增 考点4指数函数性质的综合应用 已知f x 1 判断函数的奇偶性 2 证明 f x 是定义域内的增函数 3 求f x 的值域 分析 本题是一道综合题 需利用函数的有关性质 如单调性 奇偶性等知识来解决 解析 1 f x 的定义域为R 且f x f x f x 是奇函数 2 证明 证法一 f x 令x2 x1 则f x2 f x1 当x2 x1时 0 又 0 0 故当x2 x1时 f x2 f x1 0 即f x2 f x1 f x 是增函数 证法二 考虑复合函数的增减性 f x y1 10 x为增函数 y2 102x 1为增函数 y3 为减函数 y4 为增函数 f x 为增函数 f x 在定义域内是增函数 3 令y f x 由y 解得102x 102x 0 1 y 1 即f x 的值域为 1 1 评析 记住下列函数的增减性 对解 证 题是十分有用的 1 若f x 为增 减 函数 则 f x 为减 增 函数 2 若f x 为增 减 函数 则f x k为增 减 函数 3 若f x g x 为增函数 则f x g x 为增函数 定义域为R的函数f x 是奇函数 1 求a b的值 2 若对任意的t R 不等式f t2 2t f 2t2 k 0恒成立 求k的取值范围 解析 1 2011年高考山东卷 若点 a 9 在函数y 3x的图象上 则tan的值为 A 0B C 1D 2 2011年高考湖北卷 设集合A B x y y 3x 则A B的子集的个数是 A 4B 3C 2D 1 1 D 由题意可知9 3a 由此得a 2 tana tan 故应选D 2 A 在同一坐标系下画出椭圆及函数y 3x的图象 结合图形不难得知它们的图象有两个公共点 因此A B中的元素有2个 其子集共有22 4个 故应选A 1 分数指数幂与根式可以互化 通常利用分数指数幂进行根式的运算 2 画指数函数y ax的图象 应抓住三个关键点 1 a 0 1 1 熟记指数函数y 10 x y 2x y y 在同一坐标系中图象的相对位置 由此掌握指数函数象的位置与底数大小的关系 3 利用复合函数单调性判断形如y af x 的函数 的单调区间 它的单调区间与f x 的单调区间相关 若a 1 函数y f x 的单调增 减 区间即为y af x 的单调增 减 区间 若0 a 1 函数y f x 的单调增 减 区间则为函数y af x 的