【聚焦中考】（陕西）中考数学总复习 第23讲 特殊的平行四边形教学案.doc

第23讲特殊的平行四边形陕西中考说明陕西20122014年中考试题分析考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重考点1矩形1.掌握矩形的概念和性质；2.掌握并探索矩形的有关性质和四边形是矩形的条件2014解答题2512矩形、圆、正方形、三角形结合的综合探究题2013选择题93矩形与菱形的性质应用4.2%考点2菱形1.掌握菱形的概念和性质；2.掌握并探索菱形的有关性质和四边形是菱形的条件2014选择题93菱形的性质2012选择题73利用菱形的性质求角度数1.7%考点3正方形3.掌握正方形的概念和性质；2.掌握并探索正方形的有关性质和四边形是正方形的条件2013解答题2512圆、正方形、三角形的性质等探究综合题2012解答题2512以三角形与正方形为基础图形，以问题探究的形式综合考查尺规作图、正方形性质及最值问题6.7%在近几年的陕西中考试题中，特殊的平行四边形是考查的重点，一般考查的是与特殊平行四边形有关的开放性、探索性问题，或是与三角形全等和相似、圆、函数等知识结合构建的综合题，每年都会在选择(填空)和解答题中对本节内容考查预计2015年对此部分的考查仍会是一个重点，可能会在选择或填空题中考查特殊四边形相关计算，在解答题中结合开放性问题来考查1有一个角是_直角_的平行四边形是矩形矩形的四个角都是_直角_，对角线_相等且互相平分_；既是轴对称图形，又是中心对称图形，有_两_条对称轴矩形的判定方法：(1)有三个角是_直角_的四边形；(2)是平行四边形且有一个角是_直角_；(3)_对角线相等_的平行四边形；(4)_对角线相等且互相平分_的四边形2有一组_邻边相等_的平行四边形叫做菱形菱形的四条边都_相等_，对角线_互相垂直平分_，且每一条对角线_平分一组对角_；既是轴对称图形，又是中心对称图形，有_两_条对称轴菱形的判定方法：(1)四条边都_相等_；(2)有一组_邻边相等_的平行四边形；(3)对角线_互相垂直_的平行四边形；(4)对角线_互相垂直平分_的四边形3有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形的四个角都是_直角_，四条边都_相等_，两条对角线_相等_，并且_互相垂直平分_，每一条对角线_平分一组对角_；既是轴对称图形，又是中心对称图形，有_四_条对称轴正方形的判定方法：(1)邻边相等的_矩形_；(2)有一角是直角的_菱形_一个防范在判定矩形、菱形或正方形时，要明确是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础之上来求证的要熟悉各判定定理的联系和区别，解题时要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，最后确定用哪一种判定方法三种联系(1)平行四边形与矩形的联系：在平行四边形的基础上，增加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件可为矩形；若在四边形的基础上，则需有三个角是直角(第四个角必是直角)则可判定为矩形(2)平行四边形与菱形的联系：在平行四边形的基础上，增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件可为菱形；若在四边形的基础上，需有四边相等则可判定为菱形(3)菱形、矩形与正方形的联系：正方形的判定可简记为：菱形矩形正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形)总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系归纳如下：注：学好本部分内容的方法是：弄清楚平行四边形，矩形、菱形和正方形之间的联系和区别，以整体的的观点看待本部分内容1(2014陕西)如图，在菱形abcd中，ab5，对角线ac6.若过点a作aebc ，垂足为e，则ae的长为( c )a4b.c.d5,第1题图),第2题图)2(2013陕西)如图，在矩形abcd中，ad2ab，点m，n分别在边ad，bc上，连接bm，dn，若四边形mbnd是菱形，则等于( c )a. b. c. d.3(2012陕西)如图，在菱形abcd中，对角线ac与bd相交于点o，oeab，垂足为e，若adc130，则aoe的大小为( b )a75b65c55d504(2014陕西)问题探究(1)如图，在矩形abcd中，ab3，bc4，如果bc边上存在点p，使apd为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形apd，并求出此时bp的长；(2)如图，在abc中，abc60，bc12，ad是bc边上的高，e，f分别为边ab，ac的中点，当ad6时，bc边上存在一点q，使eqf90，求此时bq的长；问题解决(3)有一山庄，它的平面图为如图的五边形abcde，山庄保卫人员想在线段cd上选一点m安装监控装置，用来监视边ab，现只要使amb大约为60，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知aed90，ab270 m，ae400 m，ed285 m，cd340 m，问在线段cd上是否存在点m，使amb60？若存在，请求出符合条件的dm的长，若不存在，请说明理由解：(1)作ad的垂直平分线交bc于点p，如图，则papd.pad是等腰三角形四边形abcd是矩形，abdc，bc90.papd，abdc，rtabprtdcp(hl)bpcp.bc4，bpcp2以点d为圆心，ad为半径画弧，交bc于点p，如图，则dadp.pad是 等腰三角形四边形abcd是矩形，adbc，abdc，c90.ab3，bc4，dc3，dp4.cp.bp4.点a为圆心，ad为半径画弧，交bc于点p，如图，则adap.pad是等腰三角形同理可得：bp.综上所述：在等腰三角形adp中，若papd，则bp2；若dpda，则bp4；若apad，则bp(2)e，f分别为边ab，ac的中点，efbc，efbc.bc12，ef6.以ef为直径作o，过点o作oqbc，垂足为q，连接eq、fq，如图.adbc，ad6，ef与bc之间的距离为3.oq3oqoe3.o与bc相切，切点为q.ef为o的直径，eqf90.过点e作egbc，垂足为g，如图.egbc，oqbc，egoq.eogq，egoq，egq90，oeoq，四边形oegq是正方形gqeo3，egoq3.b60，egb90，eg3，bg.bqgqbg3.当eqf90时，bq的长为3(3)在线段cd上存在点m，使amb60.理由如下：以ab为边，在ab的右侧作等边三角形abg，作gpab，垂足为p，作akbg，垂足为k.设gp与ak交于点o，以点o为圆心，oa为半径作o，过点o作ohcd，垂足为h，如图.则o是abg的外接圆，abg是等边三角形，gpab，appbab.ab270，ap135.ed285，oh285135150.abg是等边三角形，akbg，bakgak30.opaptan3013545.oa2op90.ohoa.o与cd相交，设交点为m，连接ma、mb，如图.ambagb60，omoa90.ohcd，oh150，om90，hm30.ae400，op45，dh40045.若点m在点h的左边，则dmdhhm4004530.4004530340，dmcd.点m不在线段cd上，应舍去若点m在点h的右边，则dmdhhm4004530.4004530340，dmcd.点m在线段cd上综上所述：在线段cd上存在唯一的点m，使amb60，此时dm的长为(4004530)米5(2013陕西)问题探究(1)请在图中作出两条直线，使它们将圆面积四等分；(2)如图，m是正方形abcd内一定点，请在图中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点m)使它们将正方形abcd的面积四等分，并说明理由问题解决(3)如图，在四边形abcd中，abcd，abcdbc，点p是ad的中点，如果aba，cdb，且ba，那么在边bc上是否存在一点q，使pq所在直线将四边形abcd的面积分成相等的两部分？如若存在，求出bq的长；若不存在，说明理由 解：(1)如图1所示(2)连接ac，bd交于o，作直线om，分别交ad于p，交bc于q，过o作efom交dc于f，交ab于e，则直线ef、om将正方形的面积四等份，理由是：点o是正方形abcd的对称中心，apcq，ebdf，在aop和eob中，aop90aoe，boe90aoe，aopboe，oaob，oapebo45，aopeob，apbedfcq，设o到正方形abcd一边的距离是d，则(apae)d(bebq)d(cqcf)d(pddf)d, s四边形aeops四边形beoqs四边形cqofs四边形dpof，直线ef，om将正方形abcd面积四等份(3)存在，当bqcdb时，pq将四边形abcd的面积二等份，理由是：如图，连接bp并延长交cd的延长线于点e，abcd，aedp，在abp和dep中，abpdep(asa)，bpep，连接cp，bpc的边bp和epc的边ep上的高相等，又bpep，sbpcsepc，作pfcd，pgbc，则bcabcddecdce，由三角形面积公式得：pfpg，在cb上截取cqdeaba，则scqpsdepsabp，sbpcscqpsabpscpesdepscqp，即：s四边形abqps四边形cdpq，bcabcdab，bqb，当bqb时，直线pq将四边形abcd的面积分成相等的两部分矩形【例1】(2014枣庄)如图，四边形abcd的对角线ac，bd交于点o，已知o是ac的中点，aecf，dfbe.(1)求证：boedof；(2)若odac，则四边形abcd是什么特殊四边形？请证明你的结论证明：(1)dfbe，fdoebo，dfobeo，o为ac的中点，即oaoc，又aecf，oaaeoccf，即oeof，在boe和dof中，boedof(aas)(2)若odac，则四边形abcd是矩形，理由为：boedof，obod，oaobocod，即bdac，四边形abcd为矩形【点评】利用平行线的相关性质找到对应角相等，再结合已知条件来证三角形的全等，是常用的方法；矩形的判定不要忽略了对角线的判定方法，有时会比边与角更直接简便1(2013聊城)如图，四边形abcd中，abcd90，bccd，cead，垂足为e.求证：aece.证明：过点b作bfce于f，cead，ddce90，bcd90，bcfdce90，bcfd，在bcf和cde中，bcfcde(aas)，bfce，又a90，cead，bfce，四边形aefb是矩形，aebf，aece菱形【例2】(2013黄冈)如图，四边形abcd是菱形，对角线ac，bd相交于点o，dhab于h，连接oh，求证：dhodco.证明：四边形abcd是菱形，odob，cod90，dhab，ohob，ohbobh，又abcd，obhodc，在rtcod中，odcdco90，在rtdhb中，dhoohb90，dhodco【点评】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键2(2014厦门)如图，在四边形abcd中，adbc，ambc，垂足为m，andc，垂足为n，若badbcd，aman，求证：四边形abcd是菱形证明：adbc，bbad180，dc180，badbcd，bd，四边形abcd是平行四边形，ambc，andc，amband90，在abm和adn中，abmadn(aas)，abad，四边形abcd是菱形正方形【例3】(2013毕节)如图，四边形abcd是正方形，e，f分别是dc和cb的延长线上的点，且debf，连接ae，af，ef.(1)求证：adeabf；(2)填空：abf可以由ade绕旋转中心_a_点，按顺时针方向旋转_90_度得到；(3)若bc8，de6，求aef的面积(1)证明：四边形abcd是正方形，adab，dabc90，而f是cb的延长线上的点，abf90，在ade和abf中adeabf(sas)(2)a；90解析：adeabf，bafdae，而daeeab90，bafeab90，即fae90，abf可以由ade绕旋转中心a点，按顺时针方向旋转90度得到，故答案为：a，90(3)解：bc8，ad8，在rtade中，de6，ad8，ae10，abf可以由ade绕旋转中心a点，按顺时针方向旋转90度得到，aeaf，eaf90，aef的面积ae210050【点评】正方形具有四边形、平行四边形、矩形及菱形的一切性质，它们之间既有联系又有区别，其各自的性质和判定是中考的热点3(2014扬州)如图，已知rtabc中，abc90，先把abc绕点b顺时针旋转90至dbe后，再把abc沿射线平移至feg，de，fg相交于点h.(1)判断线段de，fg的位置关系，并说明理由；(2)连接cg，求证：四边形cbeg是正方形解：(1)fged.理由如下：abc绕点b顺时针旋转90至dbe后，debacb，把abc沿射线平移至feg，gfea，abc90，aacb90，debgfe90，fhe90，fged(2)证明：根据旋转和平移可得gef90，cbe90，cgeb，cbbe，cgeb，bcgcbe180，bcg90，四边形bcge是矩形，cbbe，四边形cbeg是正方形特殊平行四边形综合题【例4】(2014牡丹江)如图，在rtabc中，acb90，过点c的直线mnab，d为ab边上一点，过点d作debc，交直线mn于e，垂足为f，连接cd，be.(1)求证：cead；(2)当d在ab中点时，四边形becd是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若d为ab中点，则当a的大小满足什么条件时，四边形becd是正方形？请说明你的理由(1)证明：debc，dfb90，acb90，acbdfb，acde，mnab，即cead，四边形adec是平行四边形，cead(2)解：四边形becd是菱形，理由是：d为ab中点，adbd，cead，bdce，bdce，四边形becd是平行四边形，acb90，d为ab中点，cdbd，四边形becd是菱形(3)当a45时，四边形becd是正方形，理由是：acb90，a45，abca45，acbc，d为ba中点，cdab，cdb90，四边形becd是菱形，四边形becd是正方形，即当a45时，四边形becd是正方形【点评】在判定矩形、菱形或正方形时，要弄清是在“四边形”，还是在“平行四边形”的基础上来求证的，要熟悉各判定定理之间的联系与区别，解答此类问题要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，确定一种解决问题的方法4(2014随州)如图，在矩形abcd中，m，n分别是边ad，bc的中点，e，f分别是线段bm，cm的中点(1)求证：abmdcm；(2)填空：当abad_12_时，