高中数学第一单元基本初等函数ⅱ1_2_2单位圆与三角函数线课件新人教b版必修4

1 2 2单位圆与三角函数线 第一章 1 2任意角的三角函数 学习目标1 了解三角函数线的意义 能用三角函数线表示一个角的正弦 余弦和正切 2 能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一单位圆 什么叫单位圆 答案 答案把半径为1的圆叫做单位圆 思考2 点的射影是如何定义的 答案过点P作PM垂直x轴于点M 作PN垂直于y轴于点N 则点M N分别是点P在x轴 y轴上的正射影 简称射影 梳理 1 单位圆把的圆叫做单位圆 2 单位圆中角 的坐标角 的余弦和正弦分别等于角 终边与单位圆交点的和 半径为1 横坐标 纵坐标 思考1 知识点二三角函数线 三角函数线的长度等于三角函数的值吗 答案 答案不等于 三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值 思考2 三角函数线的方向与三角函数值的正负有什么联系 答案当三角函数线与x轴 或y轴 正向同向时 所表示的三角函数值为正值 与x轴 或y轴 正向反向时 所表示的三角函数值为负值 梳理 三角函数线 题型探究 类型一三角函数线 解答 解如图所示 反思与感悟 1 作正弦线 余弦线时 首先找到角的终边与单位圆的交点 然后过此交点作x轴的垂线 得到垂足 从而得到正弦线和余弦线 2 作正切线时 应从点A 1 0 引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T 即可得到正切线AT 跟踪训练1在单位圆中画出满足sin 的角 的终边 并求角 的取值集合 解答 则OP1 OP2是角 的终边 类型二利用三角函数线比较大小 解答 反思与感悟 利用三角函数线比较三角函数值的大小时 一般分三步 1 角的位置要 对号入座 2 比较三角函数线的长度 3 确定有向线段的正负 跟踪训练2比较sin1155 与sin 1654 的大小 解sin1155 sin 3 360 75 sin75 sin 1654 sin 5 360 146 sin146 如图 在单位圆中 分别作出sin75 和sin146 的正弦线M1P1 M2P2 M1P1 M2P2 且符号皆正 sin1155 sin 1654 解答 类型三利用三角函数线解不等式 组 解答 命题角度1利用三角函数线解不等式 组 例3在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边的范围 并由此写出角 的集合 解作直线y 交单位圆于A B两点 连接OA OB 则OA与OB围成的区域 如图 1 所示的阴影部分 包括边界 即为角 的终边的范围 解答 解作直线x 交单位圆于C D两点 连接OC与OD 则OC与OD围成的区域 如图 2 所示的阴影部分 包括边界 即为角 的终边的范围 反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式 应注意以下两点 1 先找到 正值 区间 即0 2 内满足条件的角 的范围 然后再加上周期 2 注意区间是开区间还是闭区间 解答 跟踪训练3已知 利用单位圆中的三角函数线 确定角 的取值范围 解图中阴影部分就是满足条件的角 的范围 命题角度2利用三角函数线求三角函数的定义域例4求下列函数的定义域 图中阴影部分就是满足条件的角x的范围 解答 则不等式组的解的集合如图 阴影部分 所示 解答 反思与感悟 1 求函数的定义域 就是求使解析式有意义的自变量的取值范围 一般通过解不等式或不等式组求得 对于三角函数的定义域问题 还要考虑三角函数自身定义域的限制 2 要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时 可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集 解答 解要使函数f x 有意义 必须使2sinx 1 0 交单位圆于点P1 P2 连接OP1 OP2 分别过点P1 P2作x轴的垂线 画出如图所示的两条正弦线 因为sinx 所以满足条件的角x的终边在图中阴影部分内 包括边界 当堂训练 1 下列四个命题中 当 一定时 单位圆中的正弦线一定 在单位圆中 有相同正弦线的角相等 和 有相同的正切线 具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上 则错误命题的个数是A 0B 1C 2D 3解析由三角函数线的定义知 正确 不正确 答案 2 3 4 5 1 解析 答案 2 3 4 5 1 2 如图在单位圆中 角 的正弦线 正切线完全正确的是A 正弦线为PM 正切线为A T B 正弦线为MP 正切线为A T C 正弦线为MP 正切线为ATD 正弦线为PM 正切线为AT 答案 解析 2 3 4 5 1 A a b cB a c bC b c aD b a c OM MP AT b a c 故选D 答案 2 3 4 5 1 5 利用三角函数线 在单位圆中画出满足下列条件的角 的区域 并写出角 的集合 解答 2 3 4 5 1 解答 2 3 4 5 1 解答 2 3 4 5 1 规律与方法 1 三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值 三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值 方向表示三角函数值的正负 具体地说 正弦线 正切线的方向同y轴一致 向上为正 向下为负 余弦线的方向同x轴一致 向右为正 向左为负 三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来 使得问题更形象直观 为从几何途径解决问题提供了方便 2 三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线 余弦线 正切线 同时也给出了角 的三角函数线的画法 即先找到P M T点 再画出MP OM AT 注意三角函数线是有向线段 要分清始