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二次函数的表达式的求法 有一个抛物线形的立交桥拱 这个桥拱的最大高度为16m 跨度为40m 现把它的图形放在坐标系里 如图所示 求抛物线的解析式 解 设抛物线的解析式为y ax2 bx c 根据题意可知抛物线经过 0 0 20 16 和 40 0 三点 可得方程组 通过利用给定的条件列出a b c的三元一次方程组 求出a b c的值 从而确定函数的解析式 过程较繁杂 方法一 设一般式 解 由题意可知该抛物线的顶点坐标为 20 16 因此可设抛物线的解析式为y a x 20 2 16 点 0 0 在抛物线上 通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解 方法比较灵活 所求抛物线解析式为 方法二 设顶点式 点 20 16 在抛物线上 选用交点式求解 方法灵活巧妙 过程也较简捷 方法三 设交点式 解 由题意可知该抛物线与x轴的两个交点坐标为点O 0 0 点B 40 0 因此可设抛物线为y a x 0 x 40 二次函数三种表达式求法的区别与联系 条件 基本步骤 设y ax2 bx c 设y a x h 2 k 设y a x x1 x x2 已知图象上的任意三点坐标 已知图象的顶点坐标与另一点的坐标 已知图象与x轴的两个交点坐标及另一点坐标 找 三点 找 一点 找 一点 列 三元一次方程组 列 一元一次方程 列 一元一次方程 解 方程组 解 方程 解 方程 代 代 代 写 一般形式 写 一般形式 写 一般形式 求二次函数解析式的一般方法 已知图象上三点或三对的对应值 通常选择一般式 已知图象的顶点坐标 对称轴 最值和另一个点的坐标通常选择顶点式 已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1 x2和另一个点的坐标通常选择交点式 确定二次函数的解析式时 应该根据条件的特点 恰当地选用一种函数表达式 y ax2 bx c y a x h 2 k y a x x1 x x2 1 求经过三点A 2 3 B 1 0 C 2 5 的二次函数的解析式 分析 已知一般三点 用待定系数法设为一般式求其解析式 一般式 设y ax2 bx c 顶点式 2 已知抛物线的顶点为D 1 4 又经过点C 2 5 求其解析式 交点式 3 已知抛物线与x轴的两个交点为A 3 0 B 1 0 又经过点C 2 5 求其解析式 充分利用条件合理选用以上三式 4 已知抛物线的顶点为A 1 4 又知它与x轴的两个交点B C间的距离为4 求其解析式 分析 先求出B C两点的坐标 然后选用一般式 顶点式或交点式求解 1 已知抛物线y ax2 bx c的顶点坐标为 2 1 且这条抛物线与x轴的一个交点坐标是 3 0 求抛物线的表达式 2 已知二次函数的图象过点 1 0 2 0 3 5 求这个二次函数的表达式 4 已知抛物线的对称轴为直线x 2 且经过点 1 4 和 5
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