江苏省苏州市第五中学高中数学 第二章《圆锥曲线与方程》2.6曲线与方程学案 新人教版选修21.doc

26 曲线与方程一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议曲线与方程了解曲线方程的概念比较抽象， 视学生情况而定求曲线的方程掌握通过具体实例的研究， 掌握求曲线的方程的一般步骤， 以及求曲线的方程的常用方法曲线的交点掌握通过具体实例的研究， 理解并掌握求两条曲线的交点的坐标的方法， 进一步学习掌握方程思想和数形结合的方法二、预习指导1预习目标(1)了解曲线的方程和方程的曲线的意义，了解曲线与方程的对应关系，并能根据定义作简单的判断与推理；(2)掌握求曲线方程的一般步骤， 注意建立适当坐标系；(3)理解两条直线的交点与两曲线的方程所组成的方程组的解之间的关系，掌握求两曲线的交点坐标的方法2预习提纲(1)回顾直线与圆以及圆锥曲线相关知识，回答下列问题：求上述曲线的方程的过程有何共同之处?怎样求两条直线的交点?(2)阅读课本第5662页，回答下列问题：如果曲线c上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)=0的解，且_，那么方程f(x，y)=0叫做曲线c的方程，曲线c叫做方程f(x，y)=0的曲线；请用流程图表示求曲线方程的一般步骤；思考如何求两条曲线的交点?(3)课本第56页例1判断点与圆的位置关系，思考一般情况下，如何判断点与曲线的位置关系?第56页例2在必修2中是求“圆拱所在圆的方程”，这里是求圆拱的方程，两者有什么区别?第59页例1，例2都是求动点的轨迹，希望同学们能进一步熟悉求曲线方程的一般步骤第61页例1是圆锥曲线光学性质的应用，要注意解的实际意义思考，经过点p(0，4)，且与抛物线只有一个公共点的直线有_条，这样的直线的方程是_3. 典型例题(1)在建立了直角坐标系之后，点m与有序实数对(x，y)、曲线c与方程f(x，y) = 0之间建立了一一对应关系： 按某种规律运动点m 曲线c 几何意义 x，y的制约关系坐标(x，y) 方程f(x，y) = 0 代数意义从本质上说，曲线和方程是同一关系下两种不同的表现形式，曲线的性质完全地反映在方程上，方程的性质又同样反映在它的曲线上因此，我们通过方程来研究曲线，又通过曲线来研究方程，这就是解析几何处理问题的基本思想例1 设a(1，3)，b(1，1)，能不能说线段ab的方程为x y + 2 = 0?并说明理由分析：本题考查曲线和方程的概念解：不能说线段ab的方程为x y + 2 = 0因为线段ab上的任意一点的坐标都满足方程x y + 2 = 0，但以方程x y + 2 = 0的解为坐标的点却不都在线段ab上，例如点(2，4)的坐标是方程x y + 2 = 0的一个解，但点(2，4)不在线段ab上，所以线段ab的方程不是x y + 2 = 0点评：线段ab的方程是x y + 2 = 0(1x1)(2)如果曲线c的方程是f(x，y)=0，那么点p0(x0，y0)在曲线c上的充要条件是f(x0，y0)=0，我们可以由此判断点是否在曲线上，以及如果点在曲线上那么该点的坐标的特点例2 曲线l的方程为(3x 4y 12) lg(x + 2y + 1 ) = 0，试判断点a(0，3)，b(0，4)，c(4，0)，d(1，)是否在曲线上解：把a点坐标代入方程左边，无意义，故a；把b点坐标代入方程左边，得 28lg90，故b；把c点坐标代入方程左边，得0lg5 = 0，故cl；把d点坐标代入方程左边，得7lg1 = 0，故dlc，d在曲线上，a，b不在曲线上点评： 方程表示的曲线是一条直线x + 2y = 0和一条射线3x 4y 12 = 0(x + 2y + 1 0)直线3x 4y 12 = 0在直线x+2y+1=0右上方半平面部分的那条射线(3)根据已知条件求平面曲线的方程，这是解析几何两个主要问题中的第一个，也是用代数方法研究几何问题的基础求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为方程，选定坐标系是把曲线和方程统一起来的基础如果曲线是轴对称图形，那么可以选它的对称轴为坐标轴；也可以选曲线上的特殊点作为原点建立坐标系应建得适当，这样可使运算过程简单，所得的方程形式也相应简单求曲线的方程，关键在于找出动点的横，纵坐标x，y所满足的等式f(x，y) = 0，然后进行化简根据曲线上的点适合的条件列出等式时，常用到平面几何、三角函数等知识我们要仔细审题，分析已知条件以及曲线的特征，抓住曲线上与任意点m有关的等量关系列出方程，并进行化简求得方程以后，要证明以所得方程的解为坐标的点在曲线上(通常这一步可以省略)特别要注意的是，如果化简前后方程的解集不同，那么应删去增加的解，或补上失去的解，保证其等价性例3 点m到两条互相垂直的直线的距离相等，求点m的轨迹方程分析：初步掌握求曲线的方程的方法解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立如图所示的直角坐标系，设m(x，y)，点m的轨迹就是到坐标轴距离相等的点的集合p=m| |mr| = |mq|，其中q、r分别是m到x轴、y轴的垂线的垂足m到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，|x| = |y|，即xy = 0 (1) 由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程的解；(2) 设点m1的坐标(x1，y1)是方程的解，则x1y1 = 0即|x1| = |y1|，而|x1|、|y1|正是点m1到y轴、x轴的距离，点m1到x轴、y轴的距离相等，点m1是曲线上的点由(1)(2)可知，方程是所求的轨迹的方程点评：建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较简单，所求方程的形式也较“整齐”例4 过点p(2，4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于a点，l2交y轴于b点，求线段ab的中点m的轨迹方程分析：如图所示，可利用l1l2这一几何条件列方程，关键是如何表示a，b两点的坐标解：法一 设m(x，y) m是ab的中点，a(2x，0)，b(0，2y) l1，l2过p(2，4)，且l1l2 kpakpb = 1而，整理得：x + 2y 5 = 0 (x1)当x = 1时，a(2，0)，b(0，4)，ab中点坐标是(1，2)，满足方程x + 2y 5 = 0综上所述，点m的轨迹方程是x + 2y 5 = 0法二 设m(x，y)，则a(2x，0)，b(0，2y)11l2，pab为直角三角形 pm = 又，化简，得x + 2y 5 = 0为所求点m的轨迹方程点评：因为解法二中没有利用斜率公式，所以避开了x1和x = 1的讨论例5 如图，两定点a(6，0)，b(2，0)，o为坐标原点，动点p对线段ao，bo所张的角相等，求动点p的轨迹方程分析：由图可知，op为apb的角平分线，因此利用平面几何中的角平分线定理(可以补充)建立等量关系解：设p(x，y)，p对线段ao，bo所张的角相等，apo = bpo由角平分线定理， ，整理得x2 + y2 6x =0由方程可知，它过原点，但当p与原点重合时无意义，故x0又由题意，当p点落在x轴上除线段ab以外的任何点处，均有apo =bpo=0，故有方程y = 0(x 2 )合题意综上所述，动点p的轨迹方程为x2 + y2 6x = 0(x0)和y = 0(x 2)点评：求轨迹方程时，经常遇到“去”和“补”的问题，即当所求的方程包括不合题意的点时，必须去掉，当所求方程不含其他合乎条件的点时，必须补出来例6 已知abc中，a(2，0)，b(0，2)，第三个顶点c在曲线y = 3x2 1上移动，求abc的重心g的轨迹方程分析：题中动点g随着点c的变化而变化，可用“动点转移法”求解解：设abc的重心为g(x，y)，顶点c的坐标为(x1，y1)，由重心坐标公式代入y1 = 1，得3y + 2 = 3 (3x + 2)2 1，即 y = 9x2 + 12x + 3为所求重心的轨迹方程点评：题中动点c与g之间有关系，写出点c和g之间的坐标关系，并用点g的坐标表示点c的坐标(动点转移)，而后代入点c的坐标所满足的关系式，化简整理即得点g的方程，这种方法称为“动点转移法”本题也可设c(a，3a2 1)，找到x，y与参数a的关系，再消去a即得所求，这就是所谓的“参数法”(4)求曲线的交点就是求曲线的方程组成的方程组的实数解曲线交点的个数就是方程组解的个数，曲线无交点，方程组无解例7 已知直线l：y = kx +2，曲线c：y2 = 4x，当k为何值时，两曲线有且只有一个公共点?分析：两条曲线的交点的坐标应是两个曲线方程的公共实数解，即两个方程组成的方程组的实数解题中两曲线有且仅有一个公共点，可以转化为两个曲线方程所组成的方程组有且仅有一组实数解解：方程组消x后，得方程ky2 4y + 8 = 0 (*)当k = 0时，(*)方程化为 4y + 8 = 0，y = 2，x = 1，这时两曲线有且只有一个公共点(1，2)；当k0时，(*)方程是一元二次方程，由=0即16 32k = 0得，这时(*)有两等根，原方程组有且只有一解，即两曲线有且只有一个公共点得上所述，当k = 0或k = 时，两曲线有且只有一个公共点点评：(1)方程组解的个数，对应着两曲线交点的个数，但在消元化为一元方程时，若二次项系数含有字母，则应对二次方程的二次项系数是否为零进行分类讨论(2)题中直线与抛物线有且只有一个公共点包括两种情形：相交有一个公共点和相切有一个公共点4自我检测(1)以o(0，0)为圆心，以2为半径的圆的方程是吗?为什么?_(2)方程|x|=|2y|表示的图形是_(3)若点p(2，3)在曲线上，则a的值为_(4)曲线与曲线的公共点的个数为_(5)若椭圆与抛物线有公共点，则实数a的取值范围是_三、课后巩固练习a组1点p(2，3)在曲线x2 ay2 = 1上，则a = _2p(a +1，a+4) 在抛物线y = x2 + 5x + 3 上，则a的值是_3在第四象限内到原点的距离为3的点的轨迹方程为_4定长为6的线段ab，其端点a，b分别在x轴，y轴上移动，则ab中点的轨迹方程为_ 5若曲线c的方程是f(x，y) = 0，则曲线c关于直线y = x对称的曲线方程是_6已知点a(1，0)，b(1，0)，动点m满足ma mb = 2，则点m的轨迹方程是_7过曲线y = x2与y2 = x交点的直线方程是_8已知方程6x + by + c = 0的曲线经过点a(1，0)和点b(3，2)，求b，c的值9求方程(x + y 1)(x y + 2) = 0表示的曲线10求到两坐标轴距离之积等于2的点的轨迹方程11已知线段ab的长为10，动点p到a，b两点的距离的平方和为122，求动点p的轨迹方程12设动点p到点(2，1)的距离与p到直线x = 2的距离相等，求动点p的轨迹方程13动点p到直线l： x = 5的距离与p到点a(1，0)的距离之比为，求p点的轨迹方程14点p在曲线c：y = x2 1上运动，定点a(2，0)，延长pa到q，使aq = 2ap，求动点q的轨迹方程15如图，圆与圆的半径都是1，过动点p分别作圆、圆的切线pm、pn（m、n分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点p的轨迹方程b组16已知点a(a，b)在曲线y = x2 + 2x + 1上，当a = 1时，b = _；当b是a的4倍时，点a的坐标是_17到直线4x + 3y 5 = 0的距离为1的点的轨迹方程为_ 18方程4x2 y2 + 6x 3y = 0表示的图形是_ 19与y轴相切，且和曲线x2+y2=4(0x2)相内切的动圆圆心的轨迹方程是_20已知m(2，0)，n(2，0)，则以mn为斜边的直角三角形的直角顶点p的轨迹方程是_21直线x 2y 2k = 0与y = x + k的交点在曲线x2 + y2 = 25上，则k = _22若抛物线y = kx2 +x + k与x轴无交点，则实数k的取值范围是_23直线ykx1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_24椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,当的周长最大时,的面积是_.25曲线c是平面内与两个定点f1（ 1，0）和f2（1，0）的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论： 曲线c过坐标原点； 曲线c关于坐标原点对称；若点p在曲线c上，则f1pf2的面积大于.其中，所有正确结论的序号是_. 26已知点p(x0，y0)在曲线f(x，y) = 0上，p也在曲线g(x，y)=0上求证：p在曲线f(x，y) + g(x，y)=0上(r)27一动圆m与圆a：x2+y2+6y+5=0外切，同时与圆b：x2+y26y91=0内切，(1)求圆a与b的圆心和半径，并判断两圆的位置关系；(2)求动圆圆心m轨迹方程c组28设圆c位于抛物线与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，求圆c的半径能取到的最大值 29平面内与两定点连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上两点所成的曲线c可以是圆、椭圆成双曲线求曲线c的方程，并讨论c的形状与m值的关系30线段ab与cd互相垂直平分于点o，ab = 2a，cd =2b，动点p满足papb=pcpd，求动点p的轨迹方程31如图，m是抛物线上y2=x上的一点，动弦me、mf分别交x轴于a、b两点，且|ma|=|mb|. (1)若m为定点，证明：直线ef的斜率为定值；(2)若m为动点，且emf=90，求emf的重心g的轨迹方程32在平面直角坐标系xoy中， 已知点a（0，-1），b点在直线上，m点满足，m点的轨迹为曲线c(1)求c的方程；(2)p为c上动点，l为c在点p处的切线，求o点到l距离的最小值知识点题号注意点求曲线的方程或判断轨迹37，915，1720，25，27，29，3032注意除去不满足条件的点点与曲线的位置关系1，2，8，16，26方程思想直线与曲线的位置关系2124，28几何法与代数法的灵活应用四、学习心得五、拓展视野熊猫走钢丝如图所画的场面，并不是马戏团表演镜头的真实写照，而只是根据数学原理设计的一个小玩具玩具的底座上有一个圆洞，洞内有一块圆板，熊猫的模型通过细杆连接在圆板边缘上把圆板沿圆洞边缘滚动(注意不要有滑动)，就会看到细杆上端的熊猫一边沿钢丝滑动，一边还转动着肥胖的身体，非常有趣如果想自己动手做一个这样的玩具，必须注意两个关键：第一，圆洞的直径要正好等于圆板直径的2倍；第二，牵钢丝的两根柱子竖立在底座上的位置，应该位于圆洞的一条直径的延长线上换句话说，钢丝在底座平面内的正射影应该是圆洞的一条直径，这个玩具的基本原理，就是下面的轨迹定理： 当半径为r的动圆c在半径为2r的定圆o内无滑动地滚动时，动圆圆周上一点m的轨迹是圆0的一条直径现在证明上述事实如图，取o为坐标原点，并且选取x轴，使得动圆的圆心落在x轴正半轴上时，动圆c上的m点到o的距离最远，即这时m(x，y)将落在圆o与x轴正半轴的交点a处设动圆c继续滚动到图中实线所示位置，这时的圆心为c(a，b)，切点为b，aob=，则a=rcos，b=rsin又因为滚动时没有滑动，所以小圆的bm弧与大圆的ba弧长度相等所以，如果记bcm=，就有r=(2r)，所以=2另一方面，com=cmo=05=，所以m点必落在x轴上由得(x，y)=( rcos， rsin)+(rcos()，rsin()=(2rcos，0)这样就证明了点m(x，y)的轨迹是x轴上的线段2rx2r，即定圆o的直径ga26 曲线与方程自我检测(1)不是，该方程只表示以o(0,0)为圆心，以2为半径的圆在x轴上方的半圆（含x轴上的点）(2)两条相交直线 (3) (4)1 (5)课后巩固练习a组1 2 a= 1或a= -5 3 （0x 3） 4 x2 + y2 = 9