人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》的教学设计.doc

人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径的教学设计朱坊中学 林冬平【教材分析】垂直于弦的直径是人教版义务教育课程标准实验教材九年级上册第二十四章第24.1.2节内容。垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为进行一些圆的计算和作图问题提供了方法和依据【学情分析】1、学生已学过轴对称图形的概念及其性质；数的范围已经扩充到实数，能灵活运用勾股定理解决实际问题2、学生在第24.1.1节学习了圆的定义和弦、弧、等弧等概念3、学生已具备动手操作、观察思考和合作交流的能力，初步具备了运用建模思想将实际问题转化为数学问题的能力【教学目标】1、知识与技能目标：理解圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴掌握垂径定理及其推论学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题2、过程与方法目标：经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习几何证明的方法3、情感与态度目标：在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识【教学重点】垂径定理及其推论的发现、记忆与证明【教学难点】垂径定理及其推论的运用【教学用具】圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件【教学过程】一、创设问题情境：教师提问：我国最著名的拱桥首推中国赵州桥，你知道赵州桥吗？它的设计者是谁？在学生回答的基础上，教师播放幻灯片，显示赵州桥图片，向学生介绍有关赵州桥的知识（赵州桥又叫安济桥，相传是隋朝石匠李春设计建造的，距今已有1300多年了，是我国现存的最古老的石拱桥，也是世界上建造最早的这种类型的石拱桥。赵州桥横跨在河北赵县城南的洨河上，建成于隋代开皇末年至大业初年（公元605年以前），全长50.82米，跨径37.02米，桥宽9米多，分为三股，中间走车，两边行人，是古代中国乃至全世界跨径最大的石拱桥。桥型稳重雄伟而又轻盈秀丽，是一座高度的科学性和完美的艺术性相结合的精品。这种桥在欧洲直到14 世纪才出现，那就是法国泰克河上的赛雷桥。赛雷桥比赵州桥晚建造700多年，却早已毁坏了，而赵州桥1300多年以来，经受了地震、洪水、风雨和使用的考验，至今仍雄姿不减当年。）学生：回答问题之后，一边观看图片，一边聆听老师的讲述，引发思考（通过赵州桥知识的简单介绍，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，激发学生的好奇心和获得新知的欲望）教师提出：你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？二、探究学习新知：活动一：教师播放多媒体，显示实践探究内容及要求你能否找到一个圆的圆心和直径？如果把这个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性）学生按要求动手折叠圆形纸张若干次，经历观察、思考、归纳等数学活动过程，得到结论 教师利用多媒体，显示结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 （此设计是让学生亲自动手折叠圆形纸张，发现“直径两边的两个半圆完全重合”，给学生直观感受，易于接受和掌握）小练习：判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）活动二、垂径定理及推论的发现与证明1、（思考）如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足E 这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ EDOABC 你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？教师播放多媒体显示问题，引导学生采用小组合作的学习方式，前后四人一组，分组讨论教师巡回指导，适时给予点拨之后教师显示问题 的答案师生归纳总结垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.（垂径定理中的“平分弦”的证明，学生易发现多种证明方法， 但对于“平分两条弧”的证明学生第一次遇到，接受起来比较困难 因此，多媒体显示用叠合法证明垂径定理的过程，不仅使学生易接受和初步理解，而且易规范学生几何证明的书写过程）例1 看下列图形，是否能使用垂径定理？（通过图形的识别重点强调定理的两要素）归纳出垂径定理的常用基本图形.2、AB是O的一条（非直径）的弦，点E是AB的中点，过点E作直径CD问：直径CD弦AB吗？为什么？你还能得出什么结论？解：直径CD弦AB理由：连接OA和OB由OAOB可知AOB 是等腰三角形又因为点E是AB的中点，所以直径CD弦AB由垂径定理知直径CD平分弦AB所对的两条弧教师提出问题，引导学生进行思考和讨论，总结出垂径定理的推论1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 想一想：如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？（采用画图举反例）的方法让学生明白“弦是直径时此结论不一定成立”） 3、教师再次强调，垂径定理及其推论的题设和结论的区别与联系， 播放多媒体显示垂径定理及其推论的几何语言表达，使学生进一步将这部分知识理解 3、AB是O的一条的弦，CDAB，垂足E且点E是AB的中点，教师提出问题，引导学生进行思考和讨论，总结出垂径定理的推论2弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧.问题：已知弧AB，你能平分这条弧？练习：1、在O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，求O的半径.2、若O的半径为10，OE6，则AB .活动三、实践应用实际例题：赵州桥的桥拱呈圆弧形的，它的跨度（弧所对的弦长）为37米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓形高）为7.23米。请问：桥拱的半径（即弧AB所在圆的半径）是多少？ 结合实际，让学生感受到生活中处处有数学，并能将所学知识应用其中，体会建模思想.练习：生活中的水车（出示图），在水车装好后，若水车的支点到水面的距离为2米，水车埋在水下部分的水面宽4米，求水车的直径。教师启发引导学生分析解决相关问题后，反思小结此类问题的解决规律 1、在圆中解决有关弦的问题，常作什么辅助线？2、在圆中解决有关弦的问题，常用什么方法？三、课堂小结：（1） 本节课你学到了哪些数学知识？（2） 在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？（3） 这些方法中你又用到了哪些数学思想？学生围绕三个问题进行所学知识小结师生相互交流补充，明确本节课学习的基本知识和解题方法教师强调运用垂径定理解决问题时，一定要明白“知二得三”，务必做到准确灵活运用（采用问题形式进行小结，使学生在回顾本节课所学知识的同时，掌握基本的解题方法，养成梳理知识的习惯）四、巩固提高，灵活运用： 1、点P是半径为5 cm的O内一点，且OP=3cm, 则过P点的弦中，（1）最长的弦= cm（2）最短的弦= cm2、如图所示，O的直径AB=16cm，M是OB的中点，APC=30，求CD的长五、布置书面作业：（1）课本P90页第8题、第9题、第10题（2） 扩展提高：、如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为 、如图，将半径为4cm的