第九章 微分方程.ppt

第九章微分方程 解决自然科学与工程问题 乃至社会科学中的问题时 需要建立数学模型 对有关连续量变化规律的数学模型 则往往要通过对问题的分析 建立某个未知函数及其导数 或微分 之间所满足的关系式 这种关系式就是所谓的微分方程 例1一条曲线通过点 1 2 且该曲线上任一点M x y 处的切线斜率为3x2 求这条曲线方程 由y 1 2 得C 1 即所求的曲线方程为y x3 1 例2一列车在直线轨道上以20m s的速度行驶 当制动时 列车获得的加速度是 0 4m s2 问制动后 列车行驶了多少时间才停住 且列车行驶了多少距离 定义1凡表示自变量 未知函数及其未知函数导数的方程称为微分方程 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程 未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程 定义2微分方程中出现未知函数的导数的最高阶数 称为微分方程的阶 定义3若把一个函数及其各阶导数代入微分方程中能使方程成为恒等式 称此函数为微分方程的解 或积分曲线 定义4若微分方程的解中含有一些独立的任意常数 当常数的个数与方程的阶数相同时 就称此解为微分方程的通解 或通积分 定义5确定微分方程通解中的任意常数的值的条件称为定解条件 或初始条件 称不含任意常数的解为微分方程的特解 一般地 n阶微分方程其通解为 方程的初始条件为 初值问题 柯西问题 建立微分方程举例 1利用导数的几何意义建立微分方程 例 以点A 0 a 为起点 在第一象限内求一曲线 使曲线上任一点P处所作切线与x轴交于T 且 PT OT 例某种气体的气压p对于温度T的变化率与气压成正比 与温度的平方成反比 求函数p T 满足的微分方程 2利用物理意义建立微分方程 例某个地区人口总数N是时间t的函数 N N t 若这个地区人口的出生率为n 此时单位时间出生数为nN 死亡率为m 此时单位时间死亡数为mN 现考察任一时刻的人口总数 微元法 t t dt 时间段内 人口增量 这段时间内出生的人数 死亡的人数 dN nNdt mNdt 3利用微元法建立微分方程 例一个容器中装有体积V0m3的溶液 溶液中含有某种溶质x0 现以Qm3 s流量向容器中注入清水 设容器中装有搅拌器使溶解均匀 并以同样流量从容器排出溶液 求溶液中溶质含量x随时间变化的规律x t 一阶微分方程 可分离变量微分方程一阶线性微分方程齐次型方程伯努利方程 可分离变量的微分方程 f x y 可表示成一个x的函数与一个y的函数的乘积 分离变量法 例1 解 分离变量 一般得到的y是x的一个隐函数 例2 解 分离变量 把初始条件代入通解得特解 1 y2 2 1 x2 法1 可以先求通解再求特解 法2 可以直接对方程两边同时求变上限定积分 例3 解 设曲线y y x 与椭圆族中的任一椭圆的交点为M x y 则曲线y y x 在交点M处的切线斜率为k1 y 椭圆在该点处的切线斜率为 由k1k2 1 可得 例5 1建立共焦抛物线族 其中C为任意常数 所满足的微分方程 一阶线性微分方程 定义 形如的方程 称为一阶线性微分方程 称为一阶线性齐次方程 否则称为一阶线性非齐次方程 称为自由项 一阶线性齐次微分方程的通解 即得通解 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 例6 解 常数变易法 设 代入非齐次方程中得 例7 则通解为 例9 例10 有一个质量为m的质点 从液面由静止状态开始垂直下沉 设在沉降过程中质点所受的阻力与沉降速度v成正比 比例系数为k k 0 试求质点下沉速度v及位置x与沉降时间t的关系 解 设竖直向下为正 由牛顿第二运动定律得 一阶线性非齐次方程 齐次方程 的微分方程称为齐次方程 2 解法 作变量代换 代入原式 可分离变量的方程 1 定义 例12 例13 例14 解 变形为 代入方程得 可化为齐次的方程 为齐次方程 其中h和k是待定的常数 否则为非齐次方程 2 解法 1 定义 有唯一一组解 得通解代回 解 代入原方程得 分离变量法得 得原方程的通解 方程变为 伯努利 Bernoulli 方程的标准形式 伯努利方程 解法 需经过变量代换化为线性微分方程 求出通解后 将代入即得 代入上式 解 例15 例16 解 变形为 用适当的变量代换解下列微分方程 解 整理得 代入原方程化为 解 整理得 解 代入原式 总结 小结 加油啊 可分离变量微分方程一阶线性微分方程齐次型方程伯努利方程 可降阶的高阶微分方程 本节介绍通过变量代换将特殊的高阶微分方程化成一阶微分方程的降阶法 一 型方程 二 型方程 三 型方程 两边积分 连续积分n次得出含有n个任意常数的通解 再积分 一 型方程 例 逐次积分得 特点 二阶方程不显含因变量y 二 型方程 方程变为 解出这个一阶方程的通解 则原方程的通解为 例2 解 令 则 方程变为 因为 分部积分可得结果 例 解 令 则 方程变为 例 因为 则 因为 所求特解为 解 令 则 例3 解 以绳索的最低端为坐标原点建立直角坐标系 如图 设曲线方程为y y x 在曲线上任取一点M 分析弧段OM的受力情况 M 根据受力平衡 可得 令 直接积分即可 特点 方程不显含自变量x 三 型方程 令 方程变为 解出这个以y为自变量的一阶方程的通解 则原方程的通解为 例 解 令 则 方程变为 即 或者 的通解为 其通解为 即 其通解为 例6 解 令 则 方程变为 代入上式得 利用公式可得 分离变量 凑微分得 积分得 例 此题看作类型二和类型三皆可 经过尝试用前者简单 解 令 则 方程变为 即 例8脱离速度问题 解 以球心为坐标原点建立坐标系 r 根据牛二律 方程简化为 方程变为 两边同时变上限定积分得 例 解 例 则由牛顿第二定律得 解 平衡位置处重物的受力分析 以平衡位置处为坐标原点O 竖直向下为x轴正向 设t时刻物体的位移为x t 此时物体的受力分析 物体自由振动的微分方程 二阶线性微分方程 二阶线性齐次微分方程 二阶线性非齐次微分方程 线性微分方程 线性微分方程的解的结构 1 二阶齐次方程解的结构 即齐次方程的任何两个解的线性组合仍是齐次方程的解 证明 问题 反例 例如 线性无关 线性相关 特别地 例如 是方程的通解 2 二阶非齐次线性方程的解的结构 即非齐次方程的任何两个解的差是所对应的齐次方程的解 证明 非齐次的解 齐次的通解 证明 n阶线性非齐次微分方程 的通解 非齐次的解 齐次的通解 解的叠加原理 证明 二阶线性微分方程 n阶线性微分方程 n阶常系数线性微分方程的标准形式 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 一 二阶常系数线性齐次方程 一般形式 p q为常数 二阶常系数线性微分方程 分析 由方程特点可看出 为同一类型函数 之间相差常数因子 当满足 2 时 是 1 的一个特解 特征方程 特征根 根据特征根的三种不同情形 方程 1 的通解有三种情形 1 特征根为相异实根 则 1 的通解为 得到 2 特征根为二重根 是 1 的一个特解 求另一个线性无关的特解 取 得到另一个线性无关的特解 则 1 的通解为 线性无关特解 3 特征根为共轭复根 是 1 的两个特解 则 1 的通解为 例 则通解为 例 则通解为 则特解为 例 则通解为 注 上述解法可推广到n阶常系数线性齐次方程 特征方程 例14 特征根为 故所求通解为 解 特征方程为 例15 二阶常系数线性非齐次方程 一般形式 p q为常数 故只要求出 1 的一个特解 待定系数法 1 型 2 型 代入 1 式并整理得 1 型 1 当不是特征根时 则设 2 当是特征单根时 因此是m次多项式 是m 1次多项式 则设 3 当是特征重根时 因此是m次多项式 是m 2次多项式 则设 例6 求 由于不是特征根 将代入方程得 由于是特征二重根 则设 将代入方程得 因此通解为 例7 求的通解 则对应的齐次方程的通解为 2 型 此时设特解为 例8 求的一个特解 由于不是特征根 则设 将代入方程得 解 要利用叠加原理将等号右边拆开 例 写出微分方程 的特解的形式 设的特解为 解 设的特解为 则所求特解为 例10 两边对x求导 两边再对x求导 例11 解 由反函数求导公式 n阶线性常系数非齐次微分方程 例 建立微分方程举例 例1单位质量的质点在力F作用下离开原点O作直线运动 F与运动方向同向 且大小与点O到质点的距离成反比 比例系数为k1 介质阻力与质点运动速度成正比 比例系数为k2 试建立质点的运动微分方程 解 设t时刻物体的位移为x t 例2设有一质量为m的质点作直线运动 假定运动过程中只受到两个力作用 一是拉力 方向与运动方向一致 大小正比于时间t 比例系数为k1 另一是阻力 方向与运动方向相反 大小与速度成正比 比例系数为k2 设运动之初速为v0 0 求质点运动速度v t 解 设以运动方向为正向 一阶微分方程 例 例 须讨论求特解的情况 解 两边关于x求导 得 二阶微分方程 例 例 例 例 原方程变为 例有一体积为V0 10800 m3 的车间 空气中含有0 12 的CO2 为了保证工作人员的身体健康 用一台通风能力为1500m3 min的鼓风机 通入的新鲜空气中含有0 04 CO2 假定新鲜空气通入后和原有的空气混合均匀排出 设时刻t CO2含量为x t 试求满足的微分方程 解 考察 t t dt CO2的增量 排进的 排出的 1500 dt 0 04 建立微分方程举例 例根据托里斥利定律 液体从容器小孔中流出的速度为其中g为重力加速度 h为液面与底部孔口之间的距离 A为孔口面积 a为孔