高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9_9圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线课件理苏教版

9 9圆锥曲线的综合问题 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立 消去一个变量得到关于x 或y 的一元方程 ax2 bx c 0 或ay2 by c 0 1 若a 0 可考虑一元二次方程的判别式 有 0 直线与圆锥曲线 0 直线与圆锥曲线 0 直线与圆锥曲线 知识梳理 相交 相切 相离 2 若a 0 b 0 即得到一个一元一次方程 则直线l与圆锥曲线E相交 且只有一个交点 若E为双曲线 则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 若E为抛物线 则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是 2 圆锥曲线的弦长设斜率为k k 0 的直线l与圆锥曲线C相交于A x1 y1 B x2 y2 两点 则 平行 平行或重合 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 1 过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切 过椭圆内一点的直线与椭圆相交 2 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点 两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点 一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点 一条与对称轴平行或重合的直线 3 过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点 两条切线和两条与渐近线平行的直线 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点 一条切线和两条与渐近线平行的直线 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点 两条与渐近线平行的直线 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 直线l与抛物线y2 2px只有一个公共点 则l与抛物线相切 2 直线y kx k 0 与双曲线x2 y2 1一定相交 3 与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点 4 直线与椭圆只有一个交点 直线与椭圆相切 5 过点 2 4 的直线与椭圆 y2 1只有一条切线 6 满足 直线y ax 2与双曲线x2 y2 4只有一个公共点 的a的值有4个 考点自测 1 在同一平面直角坐标系中 方程a2x2 b2y2 1与ax by2 0 a b 0 表示的曲线大致是 填序号 答案 解析 直线y kx k 1 k x 1 1恒过定点 1 1 又点 1 1 在椭圆内部 故直线与椭圆相交 答案 解析 相交 3 若直线y kx与双曲线相交 则k的取值范围是 答案 解析 4 已知倾斜角为60 的直线l通过抛物线x2 4y的焦点 且与抛物线相交于A B两点 则弦AB 答案 解析 16 5 教材改编 已知与向量v 1 0 平行的直线l与双曲线 y2 1相交于A B两点 则AB的最小值为 答案 解析 4 第1课时直线与圆锥曲线 题型分类深度剖析 题型一直线与圆锥曲线的位置关系 例1 2016 无锡模拟 已知直线l y 2x m 椭圆C 试问当m取何值时 直线l与椭圆C 1 有两个不重合的公共点 解答 几何画板展示 2 有且只有一个公共点 解答 当 0 即m 时 方程 有两个相同的实数根 可知原方程组有两组相同的实数解 这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点 即直线l与椭圆C有且只有一个公共点 3 没有公共点 解答 当 时 方程 没有实数根 可知原方程组没有实数解 这时直线l与椭圆C没有公共点 1 判断直线与圆锥曲线的交点个数时 可直接求解相应方程组得到交点坐标 也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定 需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0 2 依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时 联立方程并消元 得到一元方程 此时注意观察方程的二次项系数是否为0 若为0 则方程为一次方程 若不为0 则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解 思维升华 跟踪训练1 2016 全国乙卷 在直角坐标系xOy中 直线l y t t 0 交y轴于点M 交抛物线C y2 2px p 0 于点P M关于点P的对称点为N 连结ON并延长交C于点H 解答 几何画板展示 2 除H以外 直线MH与C是否有其他公共点 说明理由 解答 题型二弦长问题 例2 2016 全国甲卷 已知A是椭圆E 的左顶点 斜率为k k 0 的直线交E于A M两点 点N在E上 MA NA 1 当AM AN时 求 AMN的面积 解答 几何画板展示 证明 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中 应熟练的利用根与系数的关系 设而不求法计算弦长 涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系 设而不求法简化运算 涉及过焦点的弦的问题 可考虑用圆锥曲线的定义求解 思维升华 1 求椭圆C1的方程 解答 证明 题型三中点弦问题 命题点1利用中点弦确定直线或曲线方程例3 1 已知椭圆E a b 0 的右焦点为F 3 0 过点F的直线交E于A B两点 若AB的中点坐标为 1 1 则E的方程为 答案 解析 2 已知 4 2 是直线l被椭圆所截得的线段的中点 则l的方程是 答案 解析 x 2y 8 0 命题点2由中点弦解决对称问题例4 2015 浙江 已知椭圆 y2 1上两个不同的点A B关于直线y mx 对称 1 求实数m的取值范围 解答 2 求 AOB面积的最大值 O为坐标原点 解答 处理中点弦问题常用的求解方法 1 点差法 即设出弦的两端点坐标后 代入圆锥曲线方程 并将两式相减 式中含有x1 x2 y1 y2 三个未知量 这样就直接联系了中点和直线的斜率 借用中点公式即可求得斜率 2 根与系数的关系 即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组 化为一元二次方程后 由根与系数的关系求解 3 解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外 还要注意 如果点A B关于直线l对称 则l垂直直线AB且A B的中点在直线l上的应用 思维升华 跟踪训练3设抛物线过定点A 1 0 且以直线x 1为准线 1 求抛物线顶点的轨迹C的方程 设抛物线顶点为P x y 则焦点F 2x 1 y 再根据抛物线的定义得AF 2 即 2x 2 y2 4 解答 2 若直线l与轨迹C交于不同的两点M N 且线段MN恰被直线x 平分 设弦MN的垂直平分线的方程为y kx m 试求m的取值范围 解答 几何画板展示 课时作业 1 2016 南京模拟 已知椭圆的左 右焦点分别为F1 F2 点P在椭圆上 若PF1 4 则PF2 F1PF2的大小为 答案 解析 由题意得PF1 PF2 2a 6 所以PF2 2 2 120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 直线4kx 4y k 0与抛物线y2 x交于A B两点 若AB 4 则弦AB的中点到直线x 0的距离等于 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 易知直线4kx 4y k 0过抛物线y2 x的焦点 0 AB为焦点弦 设A x1 y1 B x2 y2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设A B两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 直线l的方程为y x t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 设双曲线 a 0 b 0 的一条渐近线与抛物线y x2 1只有一个公共点 则双曲线的离心率为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 已知F为抛物线y2 8x的焦点 过点F且斜率为1的直线l交抛物线于A B两点 则 FA FB 的值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 在抛物线y x2上关于直线y x 3对称的两点M N的坐标分别为 答案 解析 2 4 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 已知抛物线y2 4x的弦AB的中点的横坐标为2 则AB的最大值为 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 4 那么AF BF x1 x2 2 又AF BF AB AB 6 当AB过焦点F时取得最大值6 答案 解析 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 过椭圆内一点P 3 1 且被这点平分的弦所在直线的方程是 答案 解析 3x 4y 13 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意得方程在 1 上有两个不相等的实根 设A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 如图 定直线l的方程为x 4 定点F的坐标为 1 0 P x y 为平面上一动点 作PQ l于Q 若PQ 2PF 1 求动点P的轨迹E的方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 求椭圆C的方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意 得1 c2 0 c 1 则a2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 如图 动直线l y kx m与椭圆C有且仅有一个公共点 作F1M l F2N l分别交直线l于M N两点 求四边形F1MNF2面积S的最大值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 得 2k2 1 x2 4kmx 2m2 2 0 则 16k2m2 4 2k2 1 2m2 2 0 化简得m2 2k2 1 当k 0时 设直线l的倾斜角为 则 d1 d2 MN tan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当k 0时 四边形F1MNF2是矩形 此时S 2 四边形F1MNF2面积S的最大值为2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 13 2015 江苏 如图 在平面直角坐标系xOy中 已知椭圆 1 a b 0 的离心率为 且右焦点F到左准线l的距离为3 1 求椭圆的标准方程 1 2 3 4