高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4_6 正弦定理、余弦定理课件 理 苏教版

4 6正弦定理 余弦定理 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 正弦定理 余弦定理在 ABC中 若角A B C所对的边分别是a b c R为 ABC外接圆半径 则 知识梳理 b2 c2 2bccosA c2 a2 2cacosB a2 b2 2abcosC 2RsinB 2RsinC sinA sinB sinC 2 在 ABC中 已知a b和A时 解的情况如下 3 三角形常用面积公式 1 三角形内角和定理在 ABC中 A B C 2 三角形中的三角函数关系 1 sin A B sinC 2 cos A B cosC 3 三角形中的射影定理在 ABC中 a bcosC ccosB b acosC ccosA c bcosA acosB 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 2 在 ABC中 若sinA sinB 则A B 3 在 ABC的六个元素中 已知任意三个元素可求其他元素 4 当b2 c2 a2 0时 三角形ABC为锐角三角形 6 在三角形中 已知两边和一角就能求三角形的面积 考点自测 1 教材改编 在 ABC中 a 2 A 30 C 45 则 ABC的面积S ABC 答案 解析 2 教材改编 在 ABC中 A 60 B 75 a 10 则c 答案 解析 由A B C 180 知C 45 3 教材改编 在 ABC中 A 60 AC 2 BC 则AB 答案 解析 1 方法一在 ABC中 根据余弦定理 即BC2 AB2 AC2 2 AB AC cos60 得 2 AB2 22 2AB 2 cos60 整理得AB2 2AB 1 0 解得AB 1 方法二在 ABC中 根据正弦定理 因为B 0 180 所以B 90 4 在 ABC中 角A B C对应的边分别为a b c 若A 120 a 2 b 则B 答案 解析 5 教材改编 在 ABC中 已知CB 7 AC 8 AB 9 则AC边上的中线长为 答案 解析 7 设AC边上的中线长为x 由余弦定理知 x 7 故所求中线长为7 题型分类深度剖析 题型一利用正弦定理 余弦定理解三角形 7 答案 解析 证明 则a ksinA b ksinB c ksinC 变形可得sinAsinB sinAcosB cosAsinB sin A B 在 ABC中 由A B C 有sin A B sin C sinC 所以sinAsinB sinC 解答 由 知 sinAsinB sinAcosB cosAsinB 应用正弦 余弦定理的解题技巧 思维升华 3 已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解 4 灵活利用式子的特点转化 如出现a2 b2 c2 ab形式用余弦定理 等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理 答案 解析 边化角 2 在 ABC中 内角A B C的对边长分别为a b c 已知a2 c2 b 且sin A C 2cosAsinC 则b 答案 解析 2 角化边 由题意 得sinAcosC cosAsinC 2cosAsinC 即sinAcosC 3cosAsinC 整理得2 a2 c2 b2 又a2 c2 b 联立 得b 2 题型二和三角形面积有关的问题例2 2016 南通模拟 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c a b c a b c ab 1 求角C的大小 解答 在 ABC中 由 a b c a b c ab 2 若c 2acosB b 2 求 ABC的面积 解答 方法一因为c 2acosB 由正弦定理 得sinC 2sinAcosB 因为A B C 所以sinC sin A B 所以sin A B 2sinAcosB 即sinAcosB cosAsinB 0 即sin A B 0 所以A B 0 即A B 所以a b 2 所以 ABC的面积为 方法二由c 2acosB及余弦定理 化简得a b 思维升华 2 与面积有关的问题 一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 跟踪训练2在 ABC中 内角A B C所对的边分别是a b c 若c2 a b 2 6 C 则 ABC的面积是 答案 解析 c2 a b 2 6 c2 a2 b2 2ab 6 由 得 ab 6 0 即ab 6 题型三正弦定理 余弦定理的简单应用命题点1判断三角形的形状例3 1 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 若 cosA 则 ABC的形状为三角形 钝角 答案 解析 所以sinC sinBcosA 即sin A B sinBcosA 所以sinAcosB 0 因为在三角形中sinA 0 所以cosB 0 即B为钝角 所以 ABC为钝角三角形 2 设ABC的内角A B C所对边的长分别为a b c 若b c 2a 3sinA 5sinB 则 ABC的形状为三角形 钝角 答案 解析 由3sinA 5sinB及正弦定理得3a 5b 从而 ABC为钝角三角形 引申探究1 例3 2 中 若将条件变为2sinAcosB sinC 判断 ABC的形状 解答 2sinAcosB sinC sin A B 2sinAcosB sinAcosB cosBsinA sin A B 0 又A B为 ABC的内角 A B ABC为等腰三角形 2 例3 2 中 若将条件变为a2 b2 c2 ab 且2cosAsinB sinC 判断 ABC的形状 解答 又由2cosAsinB sinC得sin B A 0 A B 故 ABC为等边三角形 命题点2求解几何计算问题 解答 1 求CD的长 因为tan ADC 2 且 ADC 0 在 ADC中 由正弦定理得 2 求 BCD的面积 解答 BD2 BC2 CD2 2BC CD cos BCD 得BC2 2BC 35 0 解得BC 7 在 BDC中 由余弦定理得 1 判断三角形形状的方法 化边 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 化角 通过三角恒等变换 得出内角的关系 从而判断三角形的形状 此时要注意应用A B C 这个结论 2 求解几何计算问题要注意 根据已知的边角画出图形并在图中标示 选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理 思维升华 答案 解析 2 2015 课标全国 在平面四边形ABCD中 A B C 75 BC 2 则AB的取值范围是 答案 解析 如图所示 延长BA与CD相交于点E 过点C作CF AD交AB于点F 则BF AB BE 在等腰三角形CBF中 FCB 30 CF BC 2 在等腰三角形ECB中 CEB 30 ECB 75 二审结论会转换 审题路线图系列 规范解答 审题路线图 返回 返回 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 15 答案 解析 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 2016 盐城模拟 设 ABC的内角A B C所对的边分别为a b c 若bcosC ccosB asinA 且sin2B sin2C 则 ABC的形状为三角形 答案 解析 等腰直角 由bcosC ccosB asinA 得sinBcosC sinCcosB sin2A sin B C sin2A 即sinA sin2A 在三角形中sinA 0 sinA 1 A 90 由sin2B sin2C 知b c 综上可知 ABC为等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 在 ABC中 已知b 40 c 20 C 60 则此三角形的解的情况是有解 填0 1 2 答案 解析 0 角B不存在 即满足条件的三角形不存在 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 直角 答案 解析 故 ABC是直角三角形 即a2 b2 c2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 如图 正方形ABCD的边长为1 延长BA至E 使AE 1 连结EC ED 则sin CED 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 由题意得EB EA AB 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又b c 2 b2 2bc c2 4 b2 c2 52 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA a 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 且满足asinB bcosA 若a 4 则 ABC周长的最大值为 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由余弦定理得a2 16 b2 c2 2bccosA 则 b c 2 64 即b c 8 当且仅当b c 4时等号成立 ABC周长 a b c 4 b c 12 即最大值为12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 2016 苏锡常镇一调 若一个钝角三角形的三内角成等差数列 且最大边与最小边之比为m 则实数m的取值范围是 答案 解析 2 由三角形的三个内角成等差数列 得中间角为60 设最小角为 则最大角为120 其中0 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 若 B C且7a2 b2 c2 则 ABC的面积的最大值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 四边形ABCD的内角A与C互补 AB 1 BC 3 CD DA 2 1 求C和BD 解答 由题设A与C互补及余弦定理得BD2 BC2 CD2 2BC CDcosC 13 12cosC BD2 AB2 DA2 2AB DAcosA 5 4cosC 因为C是三角形内角 故C 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求四边形ABCD的面积 解答 四边形ABCD的面积 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 2015 湖南 设 ABC的内角A B C的对边分别为a b c a btanA 1 证明 sinB cosA 证明 a 2RsinA b 2RsinB 代入a btanA得 又 A 0 sinA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 2015 陕西 ABC的内角A B C所对的边