高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9_7 抛物线课件 理 新人教版

9 7抛物线 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l l不经过点F 的距离的点的轨迹叫做抛物线 点F叫做抛物线的 直线l叫做抛物线的 知识梳理 焦点 相等 准线 2 抛物线的标准方程与几何性质 1 抛物线y2 2px p 0 上一点P x0 y0 到焦点F的距离 PF x0 也称为抛物线的焦半径 2 y2 ax的焦点坐标为 准线方程为x 3 设AB是过抛物线y2 2px p 0 焦点F的弦 若A x1 y1 B x2 y2 则 1 x1x2 y1y2 p2 2 弦长 AB x1 x2 p 为弦AB的倾斜角 3 以弦AB为直径的圆与准线相切 4 通径 过焦点垂直于对称轴的弦 长等于2p 通径是过焦点最短的弦 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 2 方程y ax2 a 0 表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线 且其焦点坐标是 0 准线方程是x 3 抛物线既是中心对称图形 又是轴对称图形 4 AB为抛物线y2 2px p 0 的过焦点F 0 的弦 若A x1 y1 B x2 y2 则x1x2 y1y2 p2 弦长 AB x1 x2 p 考点自测 A 0 2 B 0 1 C 2 0 D 1 0 答案 解析 1 2016 四川 抛物线y2 4x的焦点坐标是 对于抛物线y2 ax 其焦点坐标为 对于y2 4x 焦点坐标为 1 0 A 9B 8C 7D 6 答案 解析 2 2016 甘肃张掖一诊 过抛物线y2 4x的焦点的直线l交抛物线于P x1 y1 Q x2 y2 两点 如果x1 x2 6 则 PQ 等于 3 设抛物线y2 8x的准线与x轴交于点Q 若过点Q的直线l与抛物线有公共点 则直线l的斜率的取值范围是 Q 2 0 设直线l的方程为y k x 2 代入抛物线方程 消去y整理得k2x2 4k2 8 x 4k2 0 由 4k2 8 2 4k2 4k2 64 1 k2 0 解得 1 k 1 答案 解析 A B 2 2 C 1 1 D 4 4 几何画板展示 4 教材改编 已知抛物线的顶点是原点 对称轴为坐标轴 并且经过点P 2 4 则该抛物线的标准方程为 设抛物线方程为y2 2px p 0 或x2 2py p 0 将P 2 4 代入 分别得方程为y2 8x或x2 y 答案 解析 y2 8x或x2 y 5 2017 合肥调研 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆x2 y2 6x 7 0相切 则p的值为 2 答案 解析 题型分类深度剖析 题型一抛物线的定义及应用 例1设P是抛物线y2 4x上的一个动点 若B 3 2 则 PB PF 的最小值为 答案 解析 4 如图 过点B作BQ垂直准线于点Q 交抛物线于点P1 则 P1Q P1F 则有 PB PF P1B P1Q BQ 4 即 PB PF 的最小值为4 几何画板展示 引申探究1 若将本例中的B点坐标改为 3 4 试求 PB PF 的最小值 解答 由题意可知点 3 4 在抛物线的外部 PB PF 的最小值即为B F两点间的距离 几何画板展示 2 若将本例中的条件改为 已知抛物线方程为y2 4x 直线l的方程为x y 5 0 在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1 到直线l的距离为d2 求d1 d2的最小值 解答 由题意知 抛物线的焦点为F 1 0 点P到y轴的距离d1 PF 1 所以d1 d2 d2 PF 1 易知d2 PF 的最小值为点F到直线l的距离 所以d1 d2的最小值为3 1 几何画板展示 与抛物线有关的最值问题 一般情况下都与抛物线的定义有关 由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性 因此此类问题也有一定的难度 看到准线想焦点 看到焦点想准线 这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 思维升华 跟踪训练1设P是抛物线y2 4x上的一个动点 则点P到点A 1 1 的距离与点P到直线x 1的距离之和的最小值为 答案 解析 如图 易知抛物线的焦点为F 1 0 准线是x 1 由抛物线的定义知 点P到直线x 1的距离等于点P到F的距离 于是 问题转化为在抛物线上求一点P 使点P到点A 1 1 的距离与点P到F 1 0 的距离之和最小 显然 连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点 此时最小值为 几何画板展示 题型二抛物线的标准方程和几何性质 命题点1求抛物线的标准方程例2已知双曲线C1 a 0 b 0 的离心率为2 若抛物线C2 x2 2py p 0 的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2 则抛物线C2的方程为 C x2 8yD x2 16y 答案 解析 命题点2抛物线的几何性质例3已知抛物线y2 2px p 0 的焦点为F A x1 y1 B x2 y2 是过F的直线与抛物线的两个交点 求证 1 y1y2 p2 x1x2 证明 证明 证明 3 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 1 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法 其关键是判断焦点位置 开口方向 在方程的类型已经确定的前提下 由于标准方程只有一个参数p 只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 2 在解决与抛物线的性质有关的问题时 要注意利用几何图形的形象 直观的特点来解题 特别是涉及焦点 顶点 准线的问题更是如此 思维升华 跟踪训练2 1 2016 全国乙卷 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A B两点 交C的准线于D E两点 已知 AB 4 DE 2 则C的焦点到准线的距离为A 2B 4C 6D 8 答案 解析 2 2016 昆明三中 玉溪一中统考 抛物线y2 2px p 0 的焦点为F 已知点A B为抛物线上的两个动点 且满足 AFB 120 过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN 垂足为N 则的最大值为 答案 解析 A B 1C D 2 设 AF a BF b 分别过A B作准线的垂线 垂足分别为Q P 由抛物线的定义知 AF AQ BF BP 在梯形ABPQ中 2 MN AQ BP a b AB 2 a2 b2 2abcos120 a2 b2 ab a b 2 ab 题型三直线与抛物线的综合问题 命题点1直线与抛物线的交点问题例4已知抛物线C y2 8x与点M 2 2 过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A B两点 若 0 则k 答案 解析 2 命题点2与抛物线弦的中点有关的问题例5 2016 全国丙卷 已知抛物线C y2 2x的焦点为F 平行于x轴的两条直线l1 l2分别交C于A B两点 交C的准线于P Q两点 1 若F在线段AB上 R是PQ的中点 证明 AR FQ 证明 几何画板展示 2 若 PQF的面积是 ABF的面积的两倍 求AB中点的轨迹方程 解答 几何画板展示 设过AB的直线为l 设l与x轴的交点为D x1 0 所以x1 1 x1 0 舍去 设满足条件的AB的中点为E x y 1 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆 双曲线的位置关系类似 一般要用到根与系数的关系 2 有关直线与抛物线的弦长问题 要注意直线是否过抛物线的焦点 若过抛物线的焦点 可直接使用公式 AB x1 x2 p 若不过焦点 则必须用一般弦长公式 3 涉及抛物线的弦长 中点 距离等相关问题时 一般利用根与系数的关系采用 设而不求 整体代入 等解法 提醒 涉及弦的中点 斜率时一般用 点差法 求解 思维升华 跟踪训练3 2017 北京东城区质检 已知抛物线C y2 2px p 0 的焦点为F 直线y 4与y轴的交点为P 与C的交点为Q 且 QF PQ 1 求C的方程 解答 设Q x0 4 代入y2 2px 得x0 所以 PQ QF x0 由题设得 解得p 2 舍去 或p 2 所以C的方程为y2 4x 2 过F的直线l与C相交于A B两点 若AB的垂直平分线l 与C相交于M N两点 且A M B N四点在同一圆上 求l的方程 解答 典例 12分 已知抛物线C y mx2 m 0 焦点为F 直线2x y 2 0交抛物线C于A B两点 P是线段AB的中点 过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q 1 求抛物线C的焦点坐标 答案模板系列7 2 若抛物线C上有一点R xR 2 到焦点F的距离为3 求此时m的值 3 是否存在实数m 使 ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形 若存在 求出m的值 若不存在 请说明理由 答题模板 思维点拨 直线与圆锥曲线问题的求解策略 规范解答 返回 返回 课时作业 1 2017 昆明调研 已知抛物线C的顶点是原点O 焦点F在x轴的正半轴上 经过F的直线与抛物线C交于A B两点 如果 12 那么抛物线C的方程为A x2 8yB x2 4yC y2 8xD y2 4x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 已知抛物线y2 2px p 0 过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A B两点 若线段AB的中点的纵坐标为2 则该抛物线的准线方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 A x 1B x 1C x 2D x 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2016 上饶四校联考 设抛物线C y2 3px p 0 的焦点为F 点M在C上 MF 5 若以MF为直径的圆过点 0 2 则抛物线C的方程为A y2 4x或y2 8xB y2 2x或y2 8xC y2 4x或y2 16xD y2 2x或y2 16x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 已知抛物线y2 2px p 0 的焦点弦AB的两端点坐标分别为A x1 y1 B x2 y2 则的值一定等于A 4B 4C p2D p2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 若焦点弦AB x轴 则x1 x2 x1x2 y1 p y2 p y1y2 p2 4 若焦点弦AB不垂直于x轴 可设AB的直线方程为y k x 联立y2 2px 得k2x2 k2p 2p x 0 5 如图 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F的直线交抛物线于点A B 交其准线l于点C 若 BC 2 BF 且 AF 3 则此抛物线的方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 A y2 9xB y2 6xC y2 3xD y2 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图 分别过A B作AA1 l于A1 BB1 l于B1 由抛物线的定义知 AF AA1 BF BB1 BC 2 BF BC 2 BB1 BCB1 30 AFx 60 连接A1F 则 AA1F为等边三角形 过F作FF1 AA1于F1 则F1为AA1的中点 设l交x轴于K 则 KF A1F1 AA1 AF 即p 抛物线方程为y2 3x 故选C 6 抛物线y2 4x的焦点为F 点P x y 为该抛物线上的动点 若点A 1 0 则的最小值是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 设F为抛物线C y2 3x的焦点 过F且倾斜角为30 的直线交C于A B两点 则 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 12 方法二由抛物线焦点弦的性质可得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 已知抛物线C y2 2px p 0 的准线为l 过M 1 0 且斜率为的直线与l相交于点A 与C的一个交点为B 若 则p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 如图 由AB的斜率为 知 60 又 M为AB的中点 过点B作BP垂直准线l于点P 则 ABP 60 BAP 30 BP AB BM M为焦点 即 1 p 2 答案 解析 9 已知椭圆E的中心在坐标原点 离心率为 E的右焦点与抛物线C y2 8x的焦点重合 A B是C的准线与E的两个交点 则 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 设直线l与抛物线y2 4x相交于A B两点 与圆 x 5 2 y2 r2 r 0 相切于点M 且M为线段AB的中点 若这样的直线l恰有4条 则r的取值范围是 2 4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 2016 沈阳模拟 已知过抛物线y2 2px p 0 的焦点 斜率为2的直线交抛物线于A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 两点 且 AB 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 求该抛物线的方程 直线AB的方程是y 2 x 与y2 2px联立 从而有4x2 5px p2 0 所以x1 x2 由抛物线定义得 AB x1 x2 p p 9 所以p 4 从而抛物线方程为y2 8x 2 O为坐标原点 C为抛物线上一点 若 求 的值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 12 设P Q是抛物线y2 2px p 0 上相异两点 P Q到y轴的距离的积为4 且 0 1 求该抛物线的标准方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 y1y2 4p2 x