高考数学大一轮复习 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题课件 理 新人教版

高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题 考点自测 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 考点自测 1 2015 课标全国 已知A B为双曲线E的左 右顶点 点M在E上 ABM为等腰三角形 且顶角为120 则E的离心率为 答案 解析 如图 设双曲线E的方程为 1 a 0 b 0 则 AB 2a 由双曲线的对称性 可设点M x1 y1 在第一象限内 过M作MN x轴于点N x1 0 ABM为等腰三角形 且 ABM 120 BM AB 2a MBN 60 y1 MN BM sin MBN 2asin60 a 2 如图 已知椭圆C的中心为原点O F 2 0 为C的左焦点 P为C上一点 满足 OP OF 且 PF 4 则椭圆C的方程为 答案 解析 由 OP OF OF 知 FPF 90 即FP PF 在Rt PFF 中 由勾股定理 由椭圆定义 得 PF PF 2a 4 8 12 3 2017 太原质检 已知A B分别为椭圆 1 a b 0 的右顶点和上顶点 直线y kx k 0 与椭圆交于C D两点 若四边形ACBD的面积的最大值为2c2 则椭圆的离心率为 答案 解析 设C x1 y1 x1 0 D x2 y2 即2c4 a2b2 a2 a2 c2 a4 a2c2 2c4 a2c2 a4 0 2e4 e2 1 0 4 2016 北京 双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线为正方形OABC的边OA OC所在的直线 点B为该双曲线的焦点 若正方形OABC的边长为2 则a 答案 解析 2 设B为双曲线的右焦点 如图所示 四边形OABC为正方形且边长为2 又a2 b2 c2 8 a 2 答案 解析 题型分类深度剖析 题型一求圆锥曲线的标准方程 例1已知椭圆E 1 a b 0 的右焦点为F 3 0 过点F的直线交E于A B两点 若AB的中点坐标为 1 1 则E的方程为 答案 解析 设A x1 y1 B x2 y2 联立直线与椭圆的方程得 a2 b2 x2 6b2x 9b2 a4 0 又因为a2 b2 9 解得b2 9 a2 18 思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型 主要利用圆锥曲线的定义 几何性质 解得标准方程中的参数 从而求得方程 跟踪训练1 2015 天津 已知双曲线 1 a 0 b 0 的一个焦点为F 2 0 且双曲线的渐近线与圆 x 2 2 y2 3相切 则双曲线的方程为 答案 解析 则a2 b2 4 题型二圆锥曲线的几何性质 例2 1 2015 湖南 若双曲线 1的一条渐近线经过点 3 4 则此双曲线的离心率为 答案 解析 即3b 4a 9b2 16a2 9c2 9a2 16a2 答案 解析 思维升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点 求离心率 准线 双曲线渐近线 是常考题型 解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义 及相关参数间的联系 掌握一些常用的结论及变形技巧 有助于提高运算能力 跟踪训练2已知椭圆 1 a b 0 与抛物线y2 2px p 0 有相同的焦点F P Q是椭圆与抛物线的交点 若PQ经过焦点F 则椭圆 1 a b 0 的离心率为 答案 解析 PF p EF p 题型三最值 范围问题 例3若直线l y 过双曲线 1 a 0 b 0 的一个焦点 且与双曲线的一条渐近线平行 1 求双曲线的方程 解答 所以a2 3b2 且a2 b2 c2 4 2 若过点B 0 b 且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M N MN的垂直平分线为m 求直线m在y轴上的截距的取值范围 解答 几何画板展示 由 1 知B 0 1 依题意可设过点B的直线方程为y kx 1 k 0 M x1 y1 N x2 y2 设MN的中点为Q x0 y0 故直线m在y轴上的截距的取值范围为 4 4 思维升华 圆锥曲线中的最值 范围问题解决方法一般分两种 一是代数法 从代数的角度考虑 通过建立函数 不等式等模型 利用二次函数法和均值不等式法 换元法 导数法等方法求最值 二是几何法 从圆锥曲线的几何性质的角度考虑 根据圆锥曲线几何意义求最值与范围 跟踪训练3如图 曲线 由两个椭圆T1 1 a b 0 和椭圆T2 1 b c 0 组成 当a b c成等比数列时 称曲线 为 猫眼 a 2 c 1 解答 2 对于 1 中的 猫眼曲线 任作斜率为k k 0 且不过原点的直线与该曲线相交 交椭圆T1所得弦的中点为M 交椭圆T2所得弦的中点为N 求证 为与k无关的定值 证明 几何画板展示 设斜率为k的直线交椭圆T1于点C x1 y1 D x2 y2 线段CD的中点为M x0 y0 k存在且k 0 x1 x2且x0 0 3 若斜率为的直线l为椭圆T2的切线 且交椭圆T1于点A B N为椭圆T1上的任意一点 点N与点A B不重合 求 ABN面积的最大值 解答 几何画板展示 由 0化简得m2 b2 2c2 由 0得m2 b2 2a2 l1 l2两平行线间距离 题型四定值 定点问题 例4 2016 全国乙卷 设圆x2 y2 2x 15 0的圆心为A 直线l过点B 1 0 且与x轴不重合 l交圆A于C D两点 过B作AC的平行线交AD于点E 1 证明 EA EB 为定值 并写出点E的轨迹方程 解答 因为 AD AC EB AC 故 EBD ACD ADC 所以 EB ED 故 EA EB EA ED AD 又圆A的标准方程为 x 1 2 y2 16 从而 AD 4 所以 EA EB 4 由题设得A 1 0 B 1 0 AB 2 几何画板展示 2 设点E的轨迹为曲线C1 直线l交C1于M N两点 过B且与l垂直的直线与圆A交于P Q两点 求四边形MPNQ面积的取值范围 解答 几何画板展示 当l与x轴不垂直时 设l的方程为y k x 1 k 0 M x1 y1 N x2 y2 故四边形MPNQ的面积 当l与x轴垂直时 其方程为x 1 MN 3 PQ 8 四边形MPNQ的面积为12 思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种 1 从特殊入手 求出定值 再证明这个值与变量无关 2 直接推理 计算 并在计算推理的过程中消去变量 从而得到定值 跟踪训练4 2016 北京 已知椭圆C 1 a b 0 的离心率为 A a 0 B 0 b O 0 0 OAB的面积为1 1 求椭圆C的方程 解答 2 设P是椭圆C上一点 直线PA与y轴交于点M 直线PB与x轴交于点N 求证 AN BM 为定值 证明 几何画板展示 由 1 知 A 2 0 B 0 1 当x0 0时 y0 1 BM 2 AN 2 AN BM 4 故 AN BM 为定值 题型五探索性问题 例5 2015 广东 已知过原点的动直线l与圆C1 x2 y2 6x 5 0相交于不同的两点A B 1 求圆C1的圆心坐标 解答 圆C1 x2 y2 6x 5 0化为 x 3 2 y2 4 圆C1的圆心坐标为 3 0 2 求线段AB的中点M的轨迹C的方程 解答 几何画板展示 设M x y A B为过原点的直线l与圆C1的交点 且M为AB的中点 由圆的性质知MC1 MO 由向量的数量积公式得x2 3x y2 0 易知直线l的斜率存在 设直线l的方程为y mx 把相切时直线l的方程代入圆C1的方程 当直线l经过圆C1的圆心时 M的坐标为 3 0 又 直线l与圆C1交于A B两点 M为AB的中点 3 是否存在实数k 使得直线L y k x 4 与曲线C只有一个交点 若存在 求出k的取值范围 若不存在 说明理由 解答 几何画板展示 由题意知直线L表示过定点 4 0 斜率为k的直线 把直线L的方程代入轨迹C的方程x2 3x y2 0 其中 x 3 化简得 k2 1 x2 3 8k2 x 16k2 0 其中 x 3 记f x k2 1 x2 3 8k2 x 16k2 其中 x 3 若直线L与曲线C只有一个交点 令f x 0 此时方程可化为25x2 120 x 144 0 即 5x 12 2 0 当 0时 思维升华 1 探索性问题通常采用 肯定顺推法 将不确定性问题明朗化 其步骤为假设满足条件的元素 点 直线 曲线或参数 存在 用待定系数法设出 列出关于待定系数的方程组 若方程组有实数解 则元素 点 直线 曲线或参数 存在 否则 元素 点 直线 曲线或参数 不存在 2 反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法 跟踪训练5已知抛物线C y2 2px p 0 的焦点为F A为C上异于原点的任意一点 过点A的直线l交C于另一点B 交x轴的正半轴于点D 且有 FA FD 当点A的横坐标为3时 ADF为正三角形 1 求C的方程 解答 因为 FA FD 解得t 3 p或t 3 舍去 所以抛物线C的方程为y2 4x 2 若直线l1 l 且l1和C有且只有一个公共点E 证明直线AE过定点 并求出定点坐标 证明 由 1 知F 1 0 设A x0 y0 x0y0 0 D xD 0 xD 0 因为 FA FD 则 xD 1 x0 1 由xD 0 得xD x0 2 故D x0 2 0 因为直线l1和直线AB平行 直线AE恒过点F 1 0 所以直线AE过定点F 1 0 ABE的面积是否存在最小值 若存在 请求出最小值 若不存在 请说明理由 解答 几何画板展示 由 知直线AE过焦点F 1 0 所以 ABE的面积的最小值为16 课时作业 1 求椭圆E的方程 1 2 3 4 解答 1 2 3 4 解答 1 2 3 4 当直线l与x轴垂直时不满足条件 故可设A x1 y1 B x2 y2 直线l的方程为y k x 2 1 代入椭圆方程得 3 4k2 x2 8k 2k 1 x 16k2 16k 8 0 即4 x1 2 x2 2 y1 1 y2 1 5 1 2 3 4 4 x1 2 x2 2 1 k2 5 即4 x1x2 2 x1 x2 4 1 k2 5 1 2 3 4 1 2 3 4 解答 1 求椭圆E的方程 1 2 3 4 解答 1 2 3 4 设A x1 y1 则B x1 y1 1 2 3 4 1 2 3 4 3 2016 北京顺义尖子生素质展示 已知椭圆 1的左顶点为A 右焦点为F 过点F的直线交椭圆于B C两点 解答 1 2 3 4 1 求该椭圆的离心率 2 设直线AB和AC分别与直线x 4交于点M N 问 x轴上是否存在定点P使得MP NP 若存在 求出点P的坐标 若不存在 说明理由 解答 1 2 3 4 依题意 直线BC的斜率不为0 设其方程为x ty 1 设B x1 y1 C x2 y2 1 2 3 4 假设x轴上存在定点P p 0 使得MP NP 将x1 ty1 1 x2 ty2 1代入上式 整理得 1 2 3 4 即 p 4 2 9 0 解得p 1或p 7 所以x轴上存在定点P 1 0 或P 7 0 使得MP NP 1 2 3 4 4 已知椭圆 1 a b 0 的离心率为 且经过点P 1 过它的左 右焦点F1 F2分别作直线l1与l2 l1交椭圆于A B两点 l2交椭圆于C D两点 且l1 l2 如图所示 1 2 3 4 1 求椭