高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3_2 导数的应用 第2课时 导数与函数的极值、最值课件 理 苏教版

3 2导数的应用 第2课时导数与函数的极值 最值 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 题型分类深度剖析 题型一用导数解决函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1 1 2016 淮安模拟 设f x 是函数f x 的导函数 y f x 的图象如图所示 则y f x 的图象最有可能是 答案 解析 由f x 图象可知 x 0是函数f x 的极大值点 x 2是f x 的极小值点 2 设函数f x 在R上可导 其导函数为f x 且函数y 1 x f x 的图象如图所示 则下列结论中一定成立的是 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 答案 解析 由题图可知 当x0 当 22时 f x 0 由此可以得到函数f x 在x 2处取得极大值 在x 2处取得极小值 命题点2求函数的极值例2设a为实数 函数f x x3 3x a 1 求f x 的极值 解答 令f x 3x2 3 0 又因为当x 1 时 f x 0 当x 1 时 f x 0 所以f x 的极小值为f 1 a 2 f x 的极大值为f 1 a 2 得x1 1 x2 1 2 是否存在实数a 使得方程f x 0恰好有两个实数根 若存在 求出实数a的值 若不存在 请说明理由 解答 因为f x 在 1 上单调递减 且当x 时 f x 又f x 在 1 上单调递减 且当x 时 f x 而a 2 a 2 即函数的极大值大于极小值 所以当极大值等于0时 有极小值小于0 此时曲线f x 与x轴恰好有两个交点 即方程f x 0恰好有两个实数根 所以a 2 0 a 2 如图1 当极小值等于0时 有极大值大于0 此时曲线f x 与x轴恰有两个交点 即方程f x 0恰好有两个实数根 所以a 2 0 a 2 如图2 综上 当a 2或a 2时方程恰好有两个实数根 命题点3已知极值求参数例3 1 若函数f x 在x 1处取极值 则a 答案 解析 又 函数f x 在x 1处取极值 f 1 0 1 2 1 a 0 a 3 验证知a 3符合题意 3 2 2016 南京学情调研 已知函数f x x3 x2 2ax 1 若函数f x 在 1 2 上有极值 则实数a的取值范围为 答案 解析 几何画板展示 方法一令f x x2 2x 2a 0 因为x1 1 2 因此则需1 x2 2 方法二f x x2 2x 2a的图象是开口向上的抛物线 且对称轴为x 1 则f x 在 1 2 上是单调递增函数 1 求函数f x 极值的步骤 确定函数的定义域 求导数f x 解方程f x 0 求出函数定义域内的所有根 列表检验f x 在f x 0的根x0左右两侧值的符号 如果左正右负 那么f x 在x0处取极大值 如果左负右正 那么f x 在x0处取极小值 2 若函数y f x 在区间 a b 内有极值 那么y f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在某区间上单调函数没有极值 思维升华 跟踪训练1 1 函数f x x2 1 2 2的极值点是 答案 解析 x 1或 1或0 f x x4 2x2 3 由f x 4x3 4x 4x x 1 x 1 0 得x 0或x 1或x 1 又当x0 当01时 f x 0 x 0 1 1都是f x 的极值点 3 当x 0或x0 当 1 x 0时 y 0 当x 1时 y取极大值 3 答案 解析 题型二用导数求函数的最值例4已知a R 函数f x lnx 1 1 当a 1时 求曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 解答 即x 4y 4ln2 4 0 2 求f x 在区间 0 e 上的最小值 解答 令f x 0 得x a 若a 0 则f x 0 f x 在区间 0 e 上单调递增 此时函数f x 无最小值 若00 函数f x 在区间 a e 上单调递增 所以当x a时 函数f x 取得最小值lna 若a e 则当x 0 e 时 f x 0 函数f x 在区间 0 e 上单调递减 所以当x e时 函数f x 取得最小值 综上可知 当a 0时 函数f x 在区间 0 e 上无最小值 当0 a e时 函数f x 在区间 0 e 上的最小值为lna 当a e时 函数f x 在区间 0 e 上的最小值为 求函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数在 a b 内的极值 2 求函数在区间端点的函数值f a f b 3 将函数f x 的极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 思维升华 跟踪训练2设函数f x x3 2x 5 若对任意的x 1 2 都有f x a 则实数a的取值范围是 答案 解析 由题意知 f x 3x2 x 2 令f x 0 得3x2 x 2 0 题型三函数极值和最值的综合问题例5已知函数f x 1 求f x 在区间 1 上的极小值和极大值点 解答 当x 1时 f x 3x2 2x x 3x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 故当x 0时 函数f x 取得极小值f 0 0 函数f x 的极大值点为x 2 求f x 在 1 e e为自然对数的底数 上的最大值 解答 所以f x 在 1 1 上的最大值为2 当1 x e时 f x alnx 当a 0时 f x 在 1 e 上单调递增 则f x 在 1 e 上的最大值为f e a 故当a 2时 f x 在 1 e 上的最大值为a 当a 2时 f x 在 1 e 上的最大值为2 当a 0时 f x 0 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间 或开区间 上的最值时 方法是不同的 求函数在无穷区间 或开区间 上的最值 不仅要研究其极值情况 还要研究其单调性 并通过单调性和极值情况 画出函数的大致图象 然后借助图象观察得到函数的最值 思维升华 3 0 答案 解析 几何画板展示 由题意 得f x x2 2x x x 2 故f x 在 2 0 上是增函数 在 2 0 上是减函数 作出其图象如图所示 典例 16分 已知函数f x lnx ax a R 1 求函数f x 的单调区间 2 当a 0时 求函数f x 在 1 2 上的最小值 1 已知函数解析式求单调区间 实质上是求f x 0 f x 0的解区间 并注意定义域 2 先研究f x 在 1 2 上的单调性 再确定最值是端点值还是极值 3 两小问中 由于解析式中含有参数a 要对参数a进行分类讨论 思维点拨 利用导数求函数的最值 答题模板系列3 规范解答 答题模板 几何画板展示 2分 综上可知 当a 0时 函数f x 的单调递增区间为 0 又f 2 f 1 ln2 a 当ln2 a 1时 最小值为f 2 ln2 2a 14分 综上可知 当0 a ln2时 函数f x 的最小值是 a 当a ln2时 函数f x 的最小值是ln2 2a 16分 返回 用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题第一步 求导数 求函数f x 的导数f x 第二步 求极值 求f x 在给定区间上的单调性和极值 第三步 求端点值 求f x 在给定区间上的端点值 第四步 求最值 将f x 的各极值与f x 的端点值进行比较 确定f x 的最大值与最小值 第五步 反思 反思回顾 查看关键点 易错点和解题规范 返回 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 函数f x x3 4x 4的极大值为 答案 解析 f x x2 4 x 2 x 2 f x 在 2 上单调递增 在 2 2 上单调递减 在 2 上单调递增 所以f x 的极大值为f 2 2 2016 四川改编 已知a为函数f x x3 12x的极小值点 则a 答案 解析 2 f x x3 12x f x 3x2 12 令f x 0 得x1 2 x2 2 当x 2 2 时 f x 0 则f x 单调递增 当x 2 2 时 f x 0 则f x 单调递减 f x 的极小值点为a 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 若函数f x x3 3x2 9x k在区间 4 4 上的最大值为10 则其最小值为 答案 解析 71 f x 3x2 6x 9 3 x 3 x 1 由f x 0 得x 3或x 1 又f 4 k 76 f 3 k 27 f 1 k 5 f 4 k 20 由f x max k 5 10 得k 5 f x min k 76 71 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 已知函数f x x3 ax2 a 6 x 1有极大值和极小值 则实数a的取值范围是 答案 解析 3 6 f x 3x2 2ax a 6 由已知可得f x 0有两个不相等的实根 4a2 4 3 a 6 0 即a2 3a 18 0 a 6或a 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2016 扬州模拟 函数f x ax3 bx2 cx 34 a b c R 的导函数为f x 若不等式f x 0的解集为 x 2 x 3 f x 的极小值等于 115 则a的值是 答案 解析 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由已知可得f x 3ax2 2bx c 由3ax2 2bx c 0的解集为 x 2 x 3 可知a 0 且 2 3是方程3ax2 2bx c 0的两根 当x 2 时 f x 0 f x 为增函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当x 2 3 时 f x 0 f x 为增函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 2016 南京模拟 已知y f x 是奇函数 当x 0 2 时 f x lnx ax a 当x 2 0 时 f x 的最小值为1 则a 答案 解析 1 由题意知 当x 0 2 时 f x 的最大值为 1 解得a 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值10 则f 2 答案 解析 18 函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值10 f x 3x2 2ax b f 1 10 且f 1 0 f x x3 4x2 11x 16 f 2 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 函数f x x3 3a2x a a 0 的极大值是正数 极小值是负数 则a的取值范围是 答案 解析 f x 3x2 3a2 3 x a x a 当 aa或x0 函数递增 f a a3 3a3 a 0且f a a3 3a3 a 0 由f x 0得x a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 可得f x x2 2x 1 即f x 在 0 1 上的最小值为f 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 10 2016 南京模拟 已知函数f x x3 ax2 4在x 2处取得极值 若m 1 1 则f m 的最小值为 答案 解析 4 f x 3x2 2ax 由f x 在x 2处取得极值知f 2 0 即 3 4 2a 2 0 故a 3 由此可得f x x3 3x2 4 f x 3x2 6x 由此可得f x 在 1 0 上单调递减 在 0 1 上单调递增 对m 1 1 时 f m min f 0 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 已知函数f x xlnx 若对于任意x e 不等式2f x x2 ax 3恒成立 则实数a的取值范围为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当x 1 e 时 h x 0 h x 单调递增 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 设f x a x 5 2 6lnx 其中a R 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与y轴相交于点 0 6 1 确定a的值 解答 因为f x a x 5 2 6lnx 令x 1 得f 1 16a f 1 6 8a 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为y 16a 6 8a x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求函数f x 的单调区间与极值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 令f x 0 解得x 2或3 故f x 在 0 2 3 上为增函数 当2 x 3时 f x 0 故f x 在 2 3 上为减函数 当03时 f x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 已知函数f x ax2 bx lnx a 0 b R 1 设a 1 b 1 求f x 的单调区间 解答 由f x ax2 bx lnx x 0 a 1 b 1 令f x 0 得x 1 当x 1时 f x 0 f x 单调递增 f x 的单调递减区间是 0 1 当0 x 1时 f x 0 f x