第2章：导数与微分.ppt

高等数学 上 第2章导数与微分 本章主要内容 微积分学的创始人 德国数学家Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 从微观上研究函数 导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出 英国数学家Newton 2 1导数的概念 本节内容2 1 1导数的定义2 1 2导数的几何意义2 1 3可导与连续的关系 一 引例 1 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则t0到t的平均速度为 而在t0时刻的瞬时速度为 自由落体运动 2 曲线的切线斜率 曲线 在M点处的切线 割线MN的极限位置MT 当时 割线MN的斜率 切线MT的斜率 两个问题的共性 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 类似问题还有 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 二 导数的定义 存在 并称此极限为 记作 即 若 若上述极限不存在 就说函数f x 在点x0不可导 若 若函数在开区间I内每点都可导 此时导数值构成的新函数称为导函数 记作 注意 就称函数在I内可导 例1 求函数 C为常数 的导数 解 即 例2 求函数 解 说明 对一般幂函数 为常数 例如 例3 求函数 的导数 解 则 即 类似可证得 三 导数的几何意义 切线方程 法线方程 四 函数的可导性与连续性的关系 反例 在x 0处连续 但不可导 尖点 可导必连续 连续不一定可导 在点 的某个右邻域内 五 单侧导数 若极限 则称此极限值为 在处的右导数 记作 左 左 例如 在x 0处有 定义2 设函数 有定义 存在 定理2 函数 且 存在 简写为 定理3 函数 左 左 内容小结 1 导数的实质 增量比的极限 3 导数的几何意义 切线的斜率 4 可导必连续 但连续不一定可导 5 已学求导公式 6 判断可导性 不连续 一定不可导 直接用导数定义 看左右导数是否存在且相等 2 作业 P354 5 2 2函数的求导法则 本节内容2 2 1函数的和 差 积 商的求导法则2 2 2反函数的求导法则2 2 3复合函数的求导法则2 2 4基本初等函数的导数公式 注意 2 2 1函数的和 差 积 商的求导法则 定理1 u u x 及v v x 的和 差 积 商 除分母为0的点外 都在点x可导 且 函数u u x 及v v x 都在x具有导数 例4求函数f x cosxlnx的导数 例5求函数f x tanx的导数 解 解 即 练习1 求函数f x cotx的导数 2 求函数f x secx的导数 解 即 类似可得 2 2 2反函数的求导法则 则它的反函数y f x 在对应的区间内可导 且有 或 证因为是的反函数 所以有 上式两边对x求导得 或 或 所以 解 y arcsinx是x siny的反函数 因此在对应的区间 1 1 内有 例6求函数y arcsinx的导数 同理 定理2 2 3设y f u u g x 且u g x 在点x处可导 f u 在相应的点u处可导 则复合函数y f g x 在点x处可导 且或写成 2 2 3复合函数的求导法则 显然 上述复合函数求导法则可以推广到多个函数复合的情形 例如 如果y f u u g v v h x 满足定理2 2 3的条件 则有上式右端按y u v x的顺序求导 通常称为链式法则 关键 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 例7求函数的导数 解 原函数是和复合而成 因此 实际应用复合函数求导法则时 不一定要明确写出中间变量 只需自己记清楚就可以了 对于本题 可以这样解答 解 练习 y cos 1 x2 可看作y cosu和u 1 x2复合而成 1 2 解 y tanlnx 2可看作y u2 u tanv和v lnx复合而成 2 2 4基本初等函数的导数公式 P38 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 14 15 16 11 12 1 求下列函数的导数 其中只有x t是自变量 求导例题 1 解 这一类函数的特点是 分母只是x的幂函数 对这类函数用负指数最简便 如果用函数相除的求导公式也可以求解 但比较麻烦 解 3 解 对括号的若干次方这一类函数求导用复合函数求导法则最简便 一般不要把括号展开 4 解 5 解 作业 P38 391 双数题 3 单数题 6 凡是因变量y用自变量x的表达式表示的函数y f x 称为显函数 前面介绍的求导法适用于显函数 但有时两个变量之间的函数关系由一个方程F x y 0确定 这种由方程所确定的函数称为隐函数 有些隐函数可以变换为显函数 但也有不能变换为显函数的 2 3隐函数及参数方程确定的函数的求导法则 是一个常数 开普勒方程 2 1 3隐函数求导法则 例8求由方程xy y x 8 0所确定的函数的导数 解 方法1变换为显函数 因此 方法2原方程两边分别x对求导 注意 y是x的函数 因此 得 2 3 2对数求导法则 解题步骤 1 函数两边取对数 2 两边同时对x求导 得 所以 如果所求导的函数是多个函数的积 商 乘方 开方的形式 或函数为幂指函数 y h x g x h x 0 的形式 这种情况下大多数采取对数求导法 例10 1 函数两边取对数 2 两边同时对x求导 解 所以 练习 求 的导数 解 1 函数两边取对数 2 两边同时对x求导 1 函数两边取对数 2 两边同时对x求导 解 所以 1 函数两边取对数 2 两边同时对x求导 解 所以 2 3 3由参数方程所确定的函数的导数 则由复合函数及反函数的求导法则得 解 因为 例13 一般地 函数y f x 的导数仍然是x的函数 的导数称为函数y f x 的二阶导数 记做或 即 或 2 3 4高阶导数 相应地 函数y f x 的导数称为函数y f x 的一阶导数 类似地 二阶导数的导数称为三阶导数 三阶导数的导数称为四阶导数 n 1 阶导数的导数称为n阶导数 例14求函数的各阶导数 解 作业 P42 431 单数题 2 双数题 35 2 3 2 4微分及其应用 本节内容2 4 1微分的定义2 4 2微分的几何意义2 4 3微分公式与法则2 4 4微分在近似计算中的应用 定义设函数y f x 在某区间内有定义 x0及x0 x在该区间内 如果函数的增量 y可表示为 y A x x 其中A是不依赖于 x的常数 而 x 是 x的高阶无穷小 则称函数y f x 在点x0是可微的 而A x称为函数在点x0相应于自变量增量 x的微分 记作dy 即dy A x 2 4 1微分的定义 定理函数y f x 在点x0可微的充分必要条件是该函数在点x0可导 此时 即有定理说明 函数可微和可导是等价的 通常把自变量x的增量称为自变量的微分 记作dx 即dx x 于是函数y f x 的微分又可记作从而有 此前 是作为导数的整体符号介绍的 有了微分的概念后 可以把它看成两个微分 dy和dx 的商 因此 导数又称为微商 1 基本初等函数的微分公式 1 dc 0 2 dx x 1dx 3 dax axlnadx 4 dex exdx 2 4 3微分公式与法则 2 微分运算法则设函数u u x v v x 可微 则 1 d u v du dv 2 d uv vdu udv 3 3 复合函数的微分法则 的微分为 利用微分形式不变性 可以计算复合函数和隐函数的微分 这就是一阶微分形式不变性 可见 若y f u 可微 不论u是自变量还是中间变量 总有 而 解 例15 因为 所以 解 对方程两边求导 得 即导数为 微分为 由以上讨论可以看出 微分与导数虽是两个不同的概念 但却紧密相关 求出了导数便立即可得微分 求出了微分亦可得导数 因此 通常把函数的导数与微分的运算统称为微分法 在高等数学中 把研究导数和微分的有关内容称为微分学 2 4 4微分在近似计算中的应用 使用原则 特别当 很小时