2018届高中数学第二章空间向量与立体几何2.5.3直线与平面的夹角课件4北师大版选修.pptx

5 3直线与平面的夹角 1 理解直线与平面的夹角的概念 2 会利用向量的方法求直线与平面的夹角 学习目标 已知直线与的方向向量分别为 当时 直线与的夹角等于 当时 直线与的夹角等于 复习回顾 复习回顾 已知平面和的法向量分别为 当时 平面与的夹角等于 当时 平面与的夹角等于 知识点一直线与平面的夹角 1 平面外一条直线与它在该平面内的的夹角叫作该直线与此平面的夹角 2 如果一条直线与一个平面平行或在平面内 我们规定这条直线与平面的夹角为 3 如果一条直线与一个平面垂直 我们规定这条直线与平面的夹角是 4 直线与平面夹角的范围 答案 0 投影 自主学习 知识梳理 新课探究 课本45页 思考交流 1 直线与平面的夹角和该直线的方向向量与该平面的法向量的夹角是什么关系 2 如何用向量计算直线与平面的夹角 合作交流 知识点二直线与平面夹角的向量求法设平面 的直线l的方向向量为a 平面的法向量为n 1 当a n与 l的关系如图所示时 则l与 所成角 与a n所成的角互余 即 a n 所以sin cos a n 2 当a n与 l的关系如图所示时 则l与 所成角 与a n所成的角之间的关系为 a n 所以sin cos a n 小试牛刀 1 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于 则直线与平面所成的角等于 2 若平面的法向量为 直线的方向向量为 直线与平面的夹角为 则下列关系式成立的是 题型探究重点突破 题型一求直线与平面的夹角的基本方法例1如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求A1B与平面A1B1CD的夹角 解方法一连接BC1 B1C交于点O 连接A1O 在正方体ABCD A1B1C1D1中 B1C BC1 BC1 A1B1 B1C A1B1 B1 BC1 平面A1B1CD 故A1O为A1B在平面A1B1CD内的投影 即 BA1O为A1B与平面A1B1C的夹角 BA1O 30 A1B与平面A1B1CD的夹角是30 方法二如图所示 建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为1 则有A1 1 0 1 B 1 1 0 B1 1 1 1 设平面A1B1CD的一个法向量为n x y z 令x 1 则有y 0 z 1 可取n 1 0 1 则A1B与平面A1B1CD的夹角是30 反思与感悟 求直线与平面的夹角的方法 思路一 找直线在平面内的投影 充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角 或夹角的某一三角函数值 思路二 用向量法求直线与平面的夹角可利用直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角 利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤 1 建立空间直角坐标系 3 求平面的法向量n 题型二空间夹角的综合应用例2四棱锥P ABCD中 底面ABCD为矩形 PD 底面ABCD AD PD E F分别为CD PB的中点 1 求证 EF 平面PAB 当堂检测 1 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N P分别是棱CC1 BC A1B1上的点 若 B1MN 90 则 PMN的大小是 A 等于90 B 小于90 C 大于90 D 不确定 A 2 正方体中 直线与平面夹角的正弦值为 C 问 余弦值呢 课堂小结 利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量夹角的关系 首先要找出并利用空