1.3.2空间几何体的体积

第1章立体几何初步 1 3 2空间几何体的体积 类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积 我们可以用单位正方体 棱长为1个长度单位的正方体 的体积来度量几何体的体积 一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍 那么这个几何体的体积的数值就是多少 长方体的长 宽 高分别为a b c 那么它的体积为 V长方体 abc 或 V长方体 Sh 这里 S h分别表示长方体的底面积和高 复习回顾 学生活动 取一摞书放在桌面上 并改变它们的位置 观察改变前后的体积是否发生变化 问题 两个底面积相等 高也相等的棱柱 圆柱 的体积如何 两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等 则这两个几何体的体积相等 祖暅原理 相关原理可参见课本阅读材料 S S S 一 柱体的体积 底面积相等 高也相等的柱体的体积也相等 V柱体 sh 类似的 底面积相等 高也相等的两个锥体的体积也相等 V锥体 S为底面积 h为高 s s 二 锥体的体积 h x 三 台体的体积 V台体 上下底面积分别是s s 高是h 则 V台体 V柱体 sh V锥体 s s s S 0 S S 想一想 上一节中 我们知道正棱柱 正棱锥 正棱台的侧面积之间有一定的关系 那么 这里柱体 锥体 台体的体积公式之间有没有类似的关系 例1 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5 8kg 已知底面六边形的边长是12mm 高是10mm 内孔直径是10mm 那么约有毛坯多少个 铁的比重为7 8g cm3 分析 六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差 再由比重算出一个六角螺帽毛坯的体积即可 解 V正六棱柱 V 3 74 103 0 785 103 2 96 103 mm3 2 96cm3 一个毛坯的体积为 约有毛坯 5 8 103 2 96 7 8 251 个 答 这堆毛坯约有251个 数学运用 V圆柱 四 球的体积计算公式 两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等 则这两个几何体的体积相等 祖暅原理 思考 利用此原理如何得到球的体积公式 实验 给出如下几何模型 实验步骤 拿出圆锥和圆柱 将圆锥倒立放入圆柱 结论 截面面积相等 则两个几何体的体积相等 取出半球和新的几何体作它们的截面 问题 截面面积相等吗 球的体积计算公式 R S1 探究 五 球的表面积 例2 如图是一个奖杯的三视图 单位是cm 试画出它的直观图 并计算这个奖杯的体积 精确到0 01cm 8 6 6 18 5 15 15 11 11 x y z 数学运用 这个奖杯的体积为 V V正四棱台 V长方体 V球 其中 V正四棱台 V正方体 6 8 18 864 V球 所以这个奖杯的体积为 V 1828 76cm3 数学运用 例3 某街心花园有许多钢球 钢的密度是7 9g cm3 每个钢球重145kg 并且外径等于50cm 试根据以上数据 判断钢球是实心的还是空心的 如果是空心的 请你计算出它的内径 取3 14 结果精确到1cm 解 由于外径为50cm的钢球的质量为 街心花园中钢球的质量为145000g 而145000 517054 所以钢球是空心的 数学运用 解 设球的内径是2xcm 那么球的质量为 解得 答 钢球是空心的 其内径约为45cm 数学运用 例3 某街心花园有许多钢球 钢的密度是7 9g cm3 每个钢球重145kg 并且外径等于50cm 试根据以上数据 判断钢球是实心的还是空心的 如果是空心的 请你计算出它的内径 取3 14 结果精确到1cm 例4 一个正方体内接于半径为R的球内 求正方体的体积 解 数学运用 因为正方体内接于球内 所以正方体的8个定点均在球面上 又正方体和球体都是中心对称图形 所以它们的对称中心必重合 即球心就是正方体的中心 设正方体的棱长为a 则 所以 正方体的体积为 小结