4.1.2函数的表示法

第4章一次函数 4 1函数和它的表示法 4 1 1变量与函数 1 如图 是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线 它反映了该地某一天的气温T 是如何随时间t的变化而变化的 你能从图中得到哪些信息 2 当正方形的边长x分别取1 2 3 4 5 时 正方形面积s分别是多少 试填写下表 3 某城市居民用的天然气 1m3收费2 88元 使用x m3 天然气应缴纳的费用y 元 为y 2 88x 当x 10时 缴纳的费用为多少 第1个问题中 某地一天中的气温随着时间的变化而变化 从图中可看出 4时的气温是 14时的气温是 10 20 第2个问题中 正方形的面积随着它的边长的变化而变化 第3个问题中 使用天然气缴纳的费用y随所用天然气的体积x的变化而变化 例如 当x 10时 y 元 当x 20时 y 元 28 8 57 6 上述问题中 时间t 气温T 正方形的边长x 面积S 使用天然气的体积x 应缴纳的费用y等都是变量 每使用1m3天然气应缴纳2 88元 2 88是常量 一般地 如果变量y随着变量x而变化 并且对于x取的每一个值 y都有唯一的一个值与它对应 那么称y是x的函数 记作y f x 这里的f x 是英文afunctionofx x的函数 的简记 这时把x叫作自变量 把y叫作因变量 对于自变量x取的每一个值a 因变量y的对应值称为函数值 记作f a 1 在问题1中 是自变量 是 的函数 2 在问题2中 正方形的边长是 正方形的面积是边长的 3 在问题3中 是自变量 是 的函数 函数 自变量 y x T t t x 在考虑两个变量间的函数时 还要注意自变量的取值范围 如上述第1个问题中 自变量t的取值范围是0 t 24 而第2 3个问题中 自变量x的取值范围分别是x 0 x 0 如图 已知圆柱的高是4cm 底面半径是r cm 当圆柱的底面半径r由小变大时 圆柱的体积V cm3 是r的函数 1 用含r的代数式来表示圆柱的体积V 指出自变量r的取值范围 2 当r 5 10时 V是多少 结果保留 解 1 圆柱的体积V 4 r2 自变量r的取值范围是r 0 2 当r 5时 V 4 25 100 cm3 当r 10时 V 4 100 400 cm3 1 指出下列变化过程中 哪个变量随着另一个变量的变化而变化 1 一辆汽车以80km h的速度匀速行驶 行驶的路程s km 与行驶时间t h 2 圆的半径r和圆面积S满足 S r2 3 银行的存款利率P与存期t 解 1 行驶的路程s km 随着行驶时间t h 的变化而变化 2 圆面积S随着圆的半径r的变化而变化 3 银行的存款利率P随着存期t的变化而变化 2 如图 A港口某天受潮汐的影响 24小时内港口水深h m 随时间t 时 的变化而变化 1 水深h是时间t的函数吗 2 当t分别取4 10 17时 h是多少 解 1 水深h是时间t的函数 2 当t分别取4 10 17时 h分别是5 7 5 4 1 2函数的表示法 1 上节问题1是怎样表示气温T与时间t之间的函数关系的 2 上节问题2是怎样表示正方形面积S与边长x之间的函数关系的 3 上节问题3是怎样表示缴纳的天然气费y与所用天然气的体积x之间的函数关系的 问题1用平面直角坐标系中的一个图形来表示 问题2列一张表来表示 问题3用一个式子y 2 88x来表示 像上节问题1那样 建立平面直角坐标系 以自变量取的每一个值为横坐标 以相应的函数值 即因变量的对应值 为纵坐标 描出每一个点 由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象 这种表示函数关系的方法称为图象法 像上节问题2那样 列一张表 第一行表示自变量取的各个值 第二行表示相应的函数值 即因变量的对应值 这种表示函数关系的方程称为列表法 像上节问题3那样 用式子表示函数关系的方法称为公式法 这样的式子称为函数的表达式 我们可以看到 用图象法 列表法 公式法均可以表示两个变量之间的函数关系 用图象法表示函数关系 可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化 用列表法表示函数关系 可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值 用公式法表示函数关系 可以方便地计算函数值 用边长为1的等边三角形拼成如图所示的图形 用y表示拼成的图形的周长 用n表示其中等边三角形的数目 显然拼成的图形的周长y是n的函数 1 填写下表 2 试用公式法表示这个函数关系 3 试用图象法表示这个函数关系 1 当只有1个等边三角形时 图形的周长为3 每增加1个三角形 周长就增加1 因此填表如下 2 n是自变量 y是因变量 周长y与三角形个数n之间的函数表达式是y n 2 n为正整数 3 因为函数y n 2中 自变量n的取值范围是正整数集 因此在平面直角坐标系中可以描出无数个点 这些点组成了y n 2的函数图象 如图 通过图象可以数形结合地研究变量与变量之间的联系与变化 某天7时 小明从家骑自行车上学 途中因自行车发生故障 修车耽误了一段时间后继续骑行 按时赶到了学校 如图反映了他骑车的整个过程 结合图象 回答下列问题 1 自行车发生故障是在什么时间 此时离家有多远 2 修车花了多长时间 修好车后又花了多长时间到达学校 3 小明从家到学校的平均速度是多少 解 1 从横坐标看出 自行车发生故障的时间是7 05 从纵坐标看出 此时离家1000m 2 从横坐标看出 小明修车花了15min 小明修好车后又花了10min到达学校 3 从纵坐标看出 小明家离学校2100m 从横坐标看出 他在路上共花了30min 因此 他从家到学校的平均速度是2100 30 70 m min 1 如图 将一个正方形的顶点分别标上号码1 2 3 4 直线l经过第2 4号顶点 作这个正方形关于直线l的轴对称图形 那么正方形的各个顶点分别变成哪个顶点 填在下表中 这个表给出了y是x的函数 画出它的图象 它的图象由几个点组成 解 图象略 它的图象由4个点组成 2 3 1 4 2 等腰三角形的底角的度数为x 顶角的度数为y 写出y随x而变化的函数表达式 并指出自变量x的取值范围 解 y随x而变化的函数表达式是 y 180 2x 自变量x的取值范围是0 x 90 3 如图是A市某一天内的气温随时间而变化的函数图象 结合图象回答下列问题 1 这一天中的最高气温是